Seja
um espaço complexo com produto interno. Suponhamos que
é real para qualquer
. Mostre que
é auto-adjunto.
Passo 1
O enunciado diz que
é um operador linear em um espaço complexo com produto interno e que
Queremos mostrar que
é auto-adjunto, isto é,
Passo 2
Definimos a forma sesquilinear
Então
é linear em
, conjugada-linear em
, e a hipótese diz que
Passo 3
Em espaços de Hilbert complexos vale a identidade de polarização para qualquer forma sesquilinear
:
Aplicando isso a
e usando que cada termo
é real, vemos que o lado direito é igual ao seu conjugado, ou seja,
Passo 4
Da igualdade
concluímos exatamente que
T coincide com seu adjunto.