Seja V um espaço complexo com produto interno. Suponhamos que lang<= T(v), vrang<= é real para qualquer v in V. Mostre que T é auto-adjunto.

Passo 1

O enunciado diz que T:Vto V é um operador linear em um espaço complexo com produto interno e que
lang<= T(v),vrang<=inR forall,vin V
Queremos mostrar que T é auto-adjunto, isto é,
lang<= T(u),vrang<= ;=;lang<= u,T(v)rang<= forall,u,vin V

Passo 2

Definimos a forma sesquilinear
B(x,y)=lang<= T(x),yrang<=
Então B é linear em x, conjugada-linear em y, e a hipótese diz que
B(v,v)=lang<= T(v),vrang<=inR forall,vin V

Passo 3

Em espaços de Hilbert complexos vale a identidade de polarização para qualquer forma sesquilinear B:
4,B(u,v) = B(u+v,u+v);-;B(u-v,u-v) ;+;i,B(u+iv,u+iv);-;i,B(u-iv,u-iv)
Aplicando isso a B(x,y)=lang<= T(x),yrang<= e usando que cada termo
;B(w,w)=lang<= T(w),wrang<= é real, vemos que o lado direito é igual ao seu conjugado, ou seja,
B(u,v)=B(v,u)

Passo 4

Da igualdade
lang<= T(u),vrang<= = B(u,v) = B(v,u) = lang<= T(v),urang<= = lang<= u,T(v)rang<=
concluímos exatamente que T coincide com seu adjunto.

Resposta

T é auto-adjunto.

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