Qualquer ponto no intervalo [0,1) pode ser representado por meio de sua expansão decimal 0, x_{1} x_{2} \ldots. Suponha que se escolhe, aleatoriamente, um ponto do intervalo [0,1). Seja X o primeiro dígito da expansão decimal que representa o ponto. Determine a função de probabilidade de X.

Passo 1

O enunciado diz que escolhemos, de forma uniforme, um ponto em [0,1) e escrevemos sua expansão decimal
0.x_{1}x_{2}x_{3}\dots
Em seguida definimos a variável aleatória X como o primeiro dígito decimal, ou seja, X=x_{1}. Nosso objetivo é encontrar a função de probabilidade de X, ou seja, P(X=k) para k=0,1,\dots,9.

Passo 2

Para que o primeiro dígito decimal seja k, o número escolhido deve pertencer ao intervalo
\bigl[k/10,\,(k+1)/10\bigr).
De fato, qualquer x\in[0,1) se escreve x=0.k\,x_{2}x_{3}\dots se e somente se k/10\le x<(k+1)/10, com possível ambiguidade apenas em pontos de fronteira que formam conjunto de medida zero (logo não alteram as probabilidades).

Passo 3

Como estamos escolhendo x de forma uniforme em [0,1), a probabilidade de cair em [k/10,(k+1)/10) é igual ao comprimento desse intervalo. Logo, para cada k=0,1,\dots,9,
P(X=k)=\frac{(k+1)/10 - k/10}{1-0} = \frac{1}{10}.

Resposta

Para k=0,1,2,\dots,9,
P(X=k)=\frac{1}{10},
e para qualquer outro k,
P(X=k)=0.

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