Qualquer ponto no intervalo
pode ser representado por meio de sua expansão decimal
. Suponha que se escolhe, aleatoriamente, um ponto do intervalo
. Seja
o primeiro dígito da expansão decimal que representa o ponto. Determine a função de probabilidade de
.
Passo 1
O enunciado diz que escolhemos, de forma uniforme, um ponto em
e escrevemos sua expansão decimal
Em seguida definimos a variável aleatória
como o primeiro dígito decimal, ou seja,
. Nosso objetivo é encontrar a função de probabilidade de
, ou seja,
para
.
Passo 2
Para que o primeiro dígito decimal seja
, o número escolhido deve pertencer ao intervalo
De fato, qualquer
se escreve
se e somente se
, com possível ambiguidade apenas em pontos de fronteira que formam conjunto de medida zero (logo não alteram as probabilidades).
Passo 3
Como estamos escolhendo
de forma uniforme em
, a probabilidade de cair em
é igual ao comprimento desse intervalo. Logo, para cada
,
Resposta
Para
,
e para qualquer outro
,