Questão 2)
Considere o problema de estoque hospital enfrenta. Não há nenhuma necessidade de um tipo de sangue raro (sangue tipo AB, Rh negativo). A demanda D (em litros), ao longo de qualquer período de três dias é dada por: P(D=0)=0.4, P(D=1)=0.3, P(D=2)=0.2, P(D=3)=0.1.
Observe que a demanda esperada (E[D]=1) é de 1 litro . Suponha que haja três dias entre as entregas. O hospital propõe uma política de receber um litro a cada entrega e usar os estoques de sangue mais antigos primeiro. Se for necessário mais sangue que o disponível, é feita uma entrega de emergência. O sangue é descartado, caso ele ainda se encontre nas prateleiras após 21 dias. Represente o estado do sistema como o número de litros disponíveis logo após uma
entrega. Portanto, em virtude dessa política de descartar sangue, o maior estado possível é 7.
(a) Construa a matriz de transição (em uma etapa) para essa cadeia de Markov.
1
2
3
4
5
6
7
1
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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\square
\square
(b) A matriz de transição é regular?
(c) Encontre as probabilidades de estado estável do estado da cadeia de
Markov. {obs: caso não exista preencha com valores 0}
(d) Use os resultados do item (c) para encontrar a probabilidade de estado estável de que um litro de sangue será descartado durante um período de três dias. Dica: pelo fato de o sangue mais antigo ser usado primeiro, um litro chega aos 21 dias somente se o estado fosse 7 e depois D=0.
(e) Utilize os resultados do item (c) para encontrar a probabilidade de estado estável de que uma entrega de emergência será necessária durante o período de três dias entre entregas regulares.
(dica 1: a probabilidade pedida envolve situações em que o estoque é menor que a demanda, ex: prob. de estar no estado 1 e a demanda for maior que aquela em estoque)
(dica 2: observe que “Se for necessário mais sangue que o disponível, é feita uma entrega de emergência”.)
Passo 1
Resumindo: temos um hospital que recebe, a cada três dias, exatamente 1 L de sangue e atende uma demanda aleatória D (em litros) com
O estoque logo após a entrega define o estado i\in\{1,2,\dots,7\}. Se a demanda D exceder o estoque i, ocorre entrega de emergência (mas isso não altera o sistema regular), e o estoque remanescente antes da nova entrega é \max(i-D,0). Logo, na entrega seguinte há \min\bigl(\max(i-D,0)+1,7\bigr) litros. Temos uma cadeia de Markov com estados de 1 a 7; pede-se (a) matriz de transição, (b) regularidade, (c) distribuição estacionária \pi, (d) probabilidade estacionária de descarte de 1 L em 3 dias e (e) probabilidade estacionária de entrega de emergência.
Passo 2
Definindo a transição: se estamos no estado i e ocorre demanda D, então
j=\min\bigl(\max(i-D,0)+1,\,7\bigr).
Como D\in\{0,1,2,3\} com probabilidades dadas, cada linha i da matriz P satisfaz
P_{i,j}=\sum_{D:\,\min(\max(i-D,0)+1,7)=j}P(D).
Passo 3
Preenchendo as linhas de P nota-se o padrão “+1 com prob.0,4, 0 com prob.0,3, –1 com prob.0,2, –2 com prob.0,1”, tudo truncado em [0,7]. Em forma matricial, em bloco puro, temos
Verificação de regularidade: para todo estado i\ge2, P_{i,i}=0,3>0, e para i=1, P_{1,1}=0,6>0. Assim cada estado tem auto-laço de probabilidade positiva, o que garante aperiodicidade, e devido às transições de subida e descida é também irreducível. Logo a cadeia é regular.
Passo 5
Para achar a distribuição estacionária \pi=(\pi_1,\dots,\pi_7) resolvemos
\pi=\pi P,\quad \sum_{i=1}^7\pi_i=1.
Escrevem-se as sete equações \pi_j=\sum_i\pi_iP_{i,j} e resolve-se por recorrência (ou em software numérico).
Passo 6
O resultado numérico é, aproximando a três casas decimais,