Questão 2)
Considere o problema de estoque hospital enfrenta. Não há nenhuma necessidade de um tipo de sangue raro (sangue tipo AB, Rh negativo). A demanda D (em litros), ao longo de qualquer período de três dias é dada por:
P(D=0)=0.4,
P(D=1)=0.3,
P(D=2)=0.2,
P(D=3)=0.1.
Observe que a demanda esperada (E[D]=1) é de 1 litro . Suponha que haja três dias entre as entregas. O hospital propõe uma política de receber um litro a cada entrega e usar os estoques de sangue mais antigos primeiro. Se for necessário mais sangue que o disponível, é feita uma entrega de emergência. O sangue é descartado, caso ele ainda se encontre nas prateleiras após 21 dias. Represente o estado do sistema como o número de litros disponíveis logo após uma
entrega. Portanto, em virtude dessa política de descartar sangue, o maior estado possível é 7.
(a) Construa a matriz de transição (em uma etapa) para essa cadeia de Markov.
1 2 3 4 5 6 7
1 \square \square \square \square \square \square \square
2 \square \square \square \square \square \square \square
3 \square \square \square \square \square \square \square
4 \square \square \square \square \square \square \square
5 \square \square \square \square \square \square \square
6 \square \square \square \square \square \square \square
7 \square \square \square \square \square \square \square
(b) A matriz de transição é regular?
(c) Encontre as probabilidades de estado estável do estado da cadeia de
Markov. {obs: caso não exista preencha com valores 0}
(d) Use os resultados do item (c) para encontrar a probabilidade de estado estável de que um litro de sangue será descartado durante um período de três dias. Dica: pelo fato de o sangue mais antigo ser usado primeiro, um litro chega aos 21 dias somente se o estado fosse 7 e depois D=0.
(e) Utilize os resultados do item (c) para encontrar a probabilidade de estado estável de que uma entrega de emergência será necessária durante o período de três dias entre entregas regulares.
(dica 1: a probabilidade pedida envolve situações em que o estoque é menor que a demanda, ex: prob. de estar no estado 1 e a demanda for maior que aquela em estoque)
(dica 2: observe que “Se for necessário mais sangue que o disponível, é feita uma entrega de emergência”.)

Passo 1

Resumindo: temos um hospital que recebe, a cada três dias, exatamente 1 L de sangue e atende uma demanda aleatória D (em litros) com
P(D=0)=0,4,\quad P(D=1)=0,3,\quad P(D=2)=0,2,\quad P(D=3)=0,1.
O estoque logo após a entrega define o estado i\in\{1,2,\dots,7\}. Se a demanda D exceder o estoque i, ocorre entrega de emergência (mas isso não altera o sistema regular), e o estoque remanescente antes da nova entrega é \max(i-D,0). Logo, na entrega seguinte há \min\bigl(\max(i-D,0)+1,7\bigr) litros. Temos uma cadeia de Markov com estados de 1 a 7; pede-se (a) matriz de transição, (b) regularidade, (c) distribuição estacionária \pi, (d) probabilidade estacionária de descarte de 1 L em 3 dias e (e) probabilidade estacionária de entrega de emergência.

Passo 2

Definindo a transição: se estamos no estado i e ocorre demanda D, então
j=\min\bigl(\max(i-D,0)+1,\,7\bigr).
Como D\in\{0,1,2,3\} com probabilidades dadas, cada linha i da matriz P satisfaz
P_{i,j}=\sum_{D:\,\min(\max(i-D,0)+1,7)=j}P(D).

Passo 3

Preenchendo as linhas de P nota-se o padrão “ +1 com prob. 0,4, 0 com prob. 0,3, – 1 com prob. 0,2, – 2 com prob. 0,1”, tudo truncado em [0,7]. Em forma matricial, em bloco puro, temos
P=\begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0{,}3 & 0{,}3 & 0{,}4 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}4 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}4 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}4 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}4\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}7 \end{pmatrix}.

Passo 4

Verificação de regularidade: para todo estado i\ge2, P_{i,i}=0,3>0, e para i=1, P_{1,1}=0,6>0. Assim cada estado tem auto-laço de probabilidade positiva, o que garante aperiodicidade, e devido às transições de subida e descida é também irreducível. Logo a cadeia é regular.

Passo 5

Para achar a distribuição estacionária \pi=(\pi_1,\dots,\pi_7) resolvemos
\pi=\pi P,\quad \sum_{i=1}^7\pi_i=1.
Escrevem-se as sete equações \pi_j=\sum_i\pi_iP_{i,j} e resolve-se por recorrência (ou em software numérico).

Passo 6

O resultado numérico é, aproximando a três casas decimais,
\pi\approx(0{,}139,\;0{,}139,\;0{,}139,\;0{,}138,\;0{,}141,\;0{,}130,\;0{,}174).

Passo 7

Descarte de 1 L ocorre exatamente quando i=7 e D=0. Em regime estacionário,
P(\text{descarte})=\pi_7\cdot P(D=0)\approx0{,}174\cdot0{,}4=0{,}0696.

Passo 8

Entrega de emergência ocorre se D>i. Só há chance quando i=1 ( D\ge2) ou i=2 ( D=3). Logo
P(\text{emergência}) =\pi_1\,(P(D\ge2))+\pi_2\,P(D=3) =\pi_1\,(0{,}2+0{,}1)+\pi_2\,(0{,}1) \approx0{,}139\cdot0{,}3+0{,}139\cdot0{,}1=0{,}0556.ê

Resposta

(a)
P=\begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0{,}3 & 0{,}3 & 0{,}4 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}4 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}4 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}4 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}4\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}7 \end{pmatrix}.
(b) Sim, a cadeia é regular (aperiódica e irreducível).
(c)
\pi\approx(0{,}139,\;0{,}139,\;0{,}139,\;0{,}138,\;0{,}141,\;0{,}130,\;0{,}174).
(d) P(\text{descarte})\approx0,0696.
(e) P(\text{emergência})\approx0,0556.ê

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