Considere o tensor de permutações
em 4-dimensões (espaço de Minkowski). Começando com a componente
, as outras componentes podem ser encontradas da seguinte forma: componentes obtidas de permutações pares dos índices são iguais a 1 e as obtidas de permutações impares são iguais a -1. Finalmente, as componentes com índices repetidos são nulas. Exemplos:
e
. Também considere a delta de Kronecker em 4-dimensões
tal que suas componentes são 1 para
e 0 para
. Verificar as seguentes identidades,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a contração de três índices do tensor de Levi-Civita em 4D satisfaz
. Vamos usar: definição de
, a elevação de índices em Minkowski que dá
, e a propriedade de que componentes com índices repetidos valem zero.
Passo 2
Precisamos separar em dois casos: (i)
e (ii)
. Começando por
, o índice livre
é fixo, e ao somar sobre
só há contribuições não-nulas quando
é uma permutação de
. Existem exatamente
permutações distintas dos três primeiros índices, e para cada permutação temos
e
. Assim, em cada termo
e somando as 6 contribuições obtemos
$$\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma},\epsilon{\mu\nu\rho\sigma}=-6=-6,\delta\sigma_\sigma,.
$$
Passo 3
Agora, para
, considere a soma sobre
em
$$\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma},\epsilon^{\mu\nu\rho\beta},.
$$
Passo 4
Os termos não-nulos de
exigem que
. Mas se
, então esse conjunto inclui
, e logo
terá índices repetidos e vale zero. Portanto toda a soma é zero, ou seja:
Passo 5
Com isso, reunindo os dois casos vemos que
Passo 6
que era o que se queria provar.