Considere o tensor de permutações epsilonmu nu rho sigma=-epsilon^mu nu rho sigma em 4-dimensões (espaço de Minkowski). Começando com a componente epsilon0123=1, as outras componentes podem ser encontradas da seguinte forma: componentes obtidas de permutações pares dos índices são iguais a 1 e as obtidas de permutações impares são iguais a -1. Finalmente, as componentes com índices repetidos são nulas. Exemplos: epsilon0312=1, epsilon3012=-1 e epsilon0012=0. Também considere a delta de Kronecker em 4-dimensões de tal que suas componentes são 1 para alpha=beta e 0 para alpha neq beta. Verificar as seguentes identidades,
epsilonmu nu rho sigma epsilon^mu nu rho beta=-6 de.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a contração de três índices do tensor de Levi-Civita em 4D satisfaz epsilonmunurhosigma,epsilon^munurhobeta=-6,de. Vamos usar: definição de epsilon0123=1, a elevação de índices em Minkowski que dá epsilon^0123=-1, e a propriedade de que componentes com índices repetidos valem zero.

Passo 2

Precisamos separar em dois casos: (i) beta=sigma e (ii) betaneqsigma. Começando por beta=sigma, o índice livre sigma é fixo, e ao somar sobre mu,nu,rho só há contribuições não-nulas quando (mu,nu,rho,sigma) é uma permutação de (0,1,2,3). Existem exatamente 3! = 6 permutações distintas dos três primeiros índices, e para cada permutação temos epsilonmunurhosigma=pm1 e epsilon^munurhosigma=-epsilonmunurhosigma. Assim, em cada termo
epsilonmunurhosigma,epsilon^munurhosigma=epsilonmunurhosigma,l(-epsilonmunurhosigmar)=-1,,
e somando as 6 contribuições obtemos -6. Logo para beta=sigma
$$\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma},\epsilon{\mu\nu\rho\sigma}=-6=-6,\delta\sigma_\sigma,.
$$

Passo 3

Agora, para betaneqsigma, considere a soma sobre mu,nu,rho em
$$\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma},\epsilon^{\mu\nu\rho\beta},.
$$

Passo 4

Os termos não-nulos de epsilon^munurhobeta exigem que mu,nu,rho=0,1,2,3setminusbeta. Mas se betaneqsigma, então esse conjunto inclui sigma, e logo epsilonmunurhosigma terá índices repetidos e vale zero. Portanto toda a soma é zero, ou seja:
epsilonmunurhosigma,epsilon^munurhobeta=0(betaneqsigma)

Passo 5

Com isso, reunindo os dois casos vemos que
epsilonmunurhosigma,epsilon^munurhobeta=-6,de

Passo 6

que era o que se queria provar.

Resposta

epsilonmunurhosigma,epsilon^munurhobeta = -6,de.

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