Para a série 5,5,5,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,9,9.
a) construir a distribuição simples de frequência; b) calcular a amplitude;
c) determinar o desvio médio; d) calcular a variância populacional; e) determinar o desvio-padrão populacional; f) calcular o coeficiente de variação. Interprete.

Passo 1

O enunciado dá a sequência de observações
5,5,5,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,9,9.
As perguntas são, passo a passo:
a) construir a distribuição simples de frequência;
b) calcular a amplitude;
c) determinar o desvio médio;
d) calcular a variância populacional;
e) determinar o desvio-padrão populacional;
f) calcular o coeficiente de variação e interpretar os resultados.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{valores observados: }5,6,7,8,9.
Contagens (que vou usar na distribuição): para 5 aparecem 3 vezes, para 6 aparecem 4 vezes, para 7 aparecem 6 vezes, para 8 aparecem 3 vezes e para 9 aparecem 2 vezes. O total de observações é N=18.

Passo 2

Construção da distribuição simples de frequência (vou mostrar frequência absoluta, relativa e porcentagem):
Para cada valor x conto quantas vezes apareceu ( f), calculo a frequência relativa f/N e a porcentagem 100\cdot f/N.
  • Para x=5: f=3. f/N=\dfrac{3}{18}=\dfrac{1}{6}\approx 0,166. Porcentagem =16,67\%.
  • Para x=6: f=4. f/N=\dfrac{4}{18}=\dfrac{2}{9}\approx 0,222. Porcentagem =22,22\%.
  • Para x=7: f=6. f/N=\dfrac{6}{18}=\dfrac{1}{3}\approx 0,333. Porcentagem =33,33\%.
  • Para x=8: f=3. f/N=\dfrac{3}{18}=\dfrac{1}{6}\approx 0,166. Porcentagem =16,67\%.
  • Para x=9: f=2. f/N=\dfrac{2}{18}=\dfrac{1}{9}\approx 0,111. Porcentagem =11,11\%.
Resumo da distribuição (valor — f f/N %):
\begin{array}{c|c|c|c} x & f & f/N & \text{\%} \\\ \hline 5 & 3 & \dfrac{1}{6}\approx 0,166 & 16,67\%\\\\ 6 & 4 & \dfrac{2}{9}\approx 0,222 & 22,22\%\\\\ 7 & 6 & \dfrac{1}{3}\approx 0,333 & 33,33\%\\\\ 8 & 3 & \dfrac{1}{6}\approx 0,166 & 16,67\%\\\\ 9 & 2 & \dfrac{1}{9}\approx 0,111 & 11,11\%\\\ \end{array}

Passo 3

Cálculo da amplitude (range). Definição: amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor observados.
\text{amplitude}=\max(x)-\min(x).
Aqui \max(x)=9 e \min(x)=5. Logo
\text{amplitude}=9-5=4.

Passo 4

Cálculo da média (passo necessário antes de desvio médio, variância, etc.). Fórmula da média populacional:
\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i.
É conveniente calcular somando cada valor vezes sua frequência:
\sum x_i = 5\cdot 3 + 6\cdot 4 + 7\cdot 6 + 8\cdot 3 + 9\cdot 2.
Faço as multiplicações:
5\cdot 3=15,\quad 6\cdot 4=24,\quad 7\cdot 6=42,\quad 8\cdot 3=24,\quad 9\cdot 2=18.
Somando:
\sum x_i =15+24+42+24+18=123.
Portanto a média é
\bar{x}=\frac{123}{18}=\frac{41}{6}\approx 6,833\overline{3}.
Interpretação rápida: o centro aritmético dos dados é \bar{x}=\dfrac{41}{6}.

Passo 5

Cálculo do desvio médio (média dos desvios absolutos em relação à média). Fórmula (populacional):
\text{Desvio médio} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} |x_i-\bar{x}|.é
Para agilizar, uso os valores distintos e suas frequências: para cada valor x calculo |x-\bar{x}|, multiplico por f e somo.
Já sei \bar{x}=\dfrac{41}{6}. Calculo |x-\bar{x}| exato e o produto com f:
  • Para x=5: |5-\bar{x}|=\left|5-\dfrac{41}{6}\right|=\dfrac{11}{6}. Multiplicando por f=3 \dfrac{33}{6}=\dfrac{11}{2}.
  • Para x=6: |6-\bar{x}|=\left|\dfrac{36}{6}-\dfrac{41}{6}\right|=\dfrac{5}{6}. Multiplicando por f=4 \dfrac{20}{6}=\dfrac{10}{3}.
  • Para x=7: |7-\bar{x}|=\dfrac{1}{6}. Multiplicando por f=6 \dfrac{6}{6}=1.
  • Para x=8: |8-\bar{x}|=\dfrac{7}{6}. Multiplicando por f=3 \dfrac{21}{6}=\dfrac{7}{2}.
  • Para x=9: |9-\bar{x}|=\dfrac{13}{6}. Multiplicando por f=2 \dfrac{26}{6}=\dfrac{13}{3}.
Somando todos os termos:
\sum |x_i-\bar{x}| = \frac{11}{2}+\frac{10}{3}+1+\frac{7}{2}+\frac{13}{3}.
Colocando em denominador comum 6:
\sum |x_i-\bar{x}| = \frac{33+20+6+21+26}{6}=\frac{106}{6}=\frac{53}{3}.
Agora divido por N=18:
\text{Desvio médio}=\frac{1}{18}\cdot\frac{53}{3}=\frac{53}{54}\approx 0,98148\ldotsé
Em notação decimal com vírgula: \text{Desvio médio}\approx 0,981\overline{48}é.
Comentário didático: o desvio médio dá uma medida do erro médio absoluto em relação à média; aqui em média cada observação fica cerca de 0,98 unidades distante da média.

Passo 6

Cálculo da variância populacional. Fórmula:
\sigma^{2}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})^{2}.
Novamente uso os valores distintos e suas frequências. Já sabemos \bar{x}=\dfrac{41}{6}. Calculo cada (x-\bar{x})^{2} e multiplico por f:
  • Para x=5: x-\bar{x}=-\dfrac{11}{6}. Quadrado: \left(-\dfrac{11}{6}\right)^{2}=\dfrac{121}{36}. Multiplicando por f=3 \dfrac{363}{36}.
  • Para x=6: quadrado \left(-\dfrac{5}{6}\right)^{2}=\dfrac{25}{36}. f=4 \dfrac{100}{36}.
  • Para x=7: quadrado \left(\dfrac{1}{6}\right)^{2}=\dfrac{1}{36}. f=6 \dfrac{6}{36}.
  • Para x=8: quadrado \left(\dfrac{7}{6}\right)^{2}=\dfrac{49}{36}. f=3 \dfrac{147}{36}.
  • Para x=9: quadrado \left(\dfrac{13}{6}\right)^{2}=\dfrac{169}{36}. f=2 \dfrac{338}{36}.
Somando:
\sum (x_i-\bar{x})^{2} = \frac{363+100+6+147+338}{36}=\frac{954}{36}.
Simplifico \dfrac{954}{36}=\dfrac{53}{2}=26,5. Agora divido por N=18:
\sigma^{2}=\frac{1}{18}\cdot\frac{53}{2}=\frac{53}{36}\approx 1,47222\ldots
Portanto a variância populacional é \sigma^{2}=\dfrac{53}{36}\approx 1,47222.

Passo 7

Cálculo do desvio-padrão populacional. Definição:
\sigma=\sqrt{\sigma^{2}}.
Como \sigma^{2}=\dfrac{53}{36}, temos
\sigma=\sqrt{\frac{53}{36}}=\frac{\sqrt{53}}{6}\approx 1,21335\ldots
Em notação com vírgula: \sigma\approx 1,21335.
Comentário: o desvio-padrão mede a dispersão típica; como a unidade é a mesma dos dados, facilita interpretação.

Passo 8

Cálculo do coeficiente de variação ( CV) e interpretação. Fórmula:
CV=\frac{\sigma}{\bar{x}}\times 100\%.
Usando \sigma=\dfrac{\sqrt{53}}{6} e \bar{x}=\dfrac{41}{6} há uma simplificação das frações:
CV=\frac{\sqrt{53}/6}{41/6}\times 100\%=\frac{\sqrt{53}}{41}\times 100\%.
Valor numérico:
CV\approx \frac{7,28011}{41}\times 100\%\approx 17,76\%.
Interpretação: o CV\approx 17,76\% indica variabilidade relativa moderada — em média o desvio-padrão representa cerca de 17,8\% da média. Complementando: a amplitude é \,4 unidades, o desvio médio é \approx 0,98 e o desvio-padrão \approx 1,21; isto mostra que os dados estão relativamente concentrados em torno da média (não há dispersão muito grande).
Palavras de incentivo: ótimos cálculos — você já domina as medidas de posição e dispersão; com prática esses passos ficam bem automáticos na hora da prova!

Resposta

a) Distribuição de frequência: 5:\,f=3,\;6:\,f=4,\;7:\,f=6,\;8:\,f=3,\;9:\,f=2 (com N=18).
b) Amplitude =4.
c) Desvio médio =\dfrac{53}{54}\approx 0,98148.
d) Variância populacional \sigma^{2}=\dfrac{53}{36}\approx 1,47222.
e) Desvio-padrão populacional \sigma=\dfrac{\sqrt{53}}{6}\approx 1,21335.
f) Coeficiente de variação CV=\dfrac{\sqrt{53}}{41}\times100\%\approx 17,76\%.

Exercícios relacionados