QUANTAS BANDEIRAS RETANGULARES COM LISTAS VERTICAIS HÁ COM:
TRÊS LISTAS, USANDO CINCO CORES SEM REPETIÇÃO?

Passo 1

O enunciado pede: “Quantas bandeiras retangulares com listas verticais há com três listas, usando cinco cores sem repetição?”
Informações dadas:
  • Número de listas (faixas) na bandeira: \,3.\n
  • Número de cores disponíveis: \,5.\n
  • Não se pode repetir uma cor (cada faixa tem cor distinta).\n
  • As listas são verticais, portanto há uma ordem: faixa da esquerda, faixa do meio, faixa da direita (essas posições são consideradas diferentes).

Passo 2

Entendendo o que é pedido (diferença entre combinações e permutações): quando as posições têm ordem (como faixa esquerda, central e direita), trocar as cores entre posições gera bandeiras diferentes. Por exemplo, escolher as cores “vermelha, azul, verde” na ordem esquerda→meio→direita é diferente de “verde, azul, vermelha”. Então devemos contar maneiras ordenadas de escolher \,3 cores dentre \,5 sem repetição — ou seja, permutações de \,5 elementos tomados \,3 a \,3.

Passo 3

Apresentando a fórmula de permutações sem repetição: a quantidade de sequências ordenadas (permutations) de \,k elementos escolhidos dentre \,n distintos, sem repetição, é dada por
P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!},
onde:
  • \,n! (lê-se “n fatorial”) é o produto \,n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots1,
  • \,(n-k)! é o fatorial de \,(n-k),
  • \,P(n,k) é o número de permutações (sequências ordenadas) possíveis.
Explicando fatorial: por exemplo,
5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120,
2! = 2\cdot1 = 2.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao problema: aqui \,n=5 e \,k=3. Então
P(5,3)=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5!}{2!}.

Passo 5

Calculando os fatoriais e a divisão:
5! = 120,\qquad 2! = 2,
P(5,3)=\frac{120}{2}=60.

Passo 6

Raciocínio alternativo (mais direto, conta passo a passo): para preencher as \,3 faixas em ordem temos \,5 opções para a faixa da esquerda; após escolher uma, restam \,4 opções para a faixa do meio; após essas duas escolhas, restam \,3 opções para a faixa da direita. Portanto o total é
5\cdot4\cdot3 = 60,
o mesmo resultado obtido pela fórmula.

Passo 7

Resumo didático e motivador: sempre que as posições importam e não há repetição, use permutações (ou a multiplicação sequencial de escolhas). Aqui foram \,5 escolhas, depois \,4, depois \,3, dando \,60 bandeiras diferentes. Você já domina a ideia — bora praticar mais umas questões parecidas pra fixar!

Resposta

60

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