Seja X uma v.a. contínua uniforme entre 100 e 200. Calcule a probabilidade de se obter valores entre 140 e 160.

Passo 1

O enunciado diz: seja X uma variável aleatória contínua uniforme entre 100 e 200. A pergunta é: qual é a probabilidade de X assumir um valor entre 140 e 160?\n
Informações relevantes fornecidas:
a=100,\quad b=200
\text{intervalo desejado: }[140,160]

Passo 2

Vamos lembrar qual é a densidade de probabilidade (pdf) da distribuição uniforme contínua no intervalo [a,b]\). A definição é: \[f_X(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & x\in[a,b],\\[6pt] 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}
Explicando essa fórmula: \,a\] é o limite inferior do intervalo, \(\,b é o limite superior, e \,f_X(x) é a altura constante da densidade sobre todo o intervalo [a,b]. A razão de ser desse valor \dfrac{1}{b-a} é que a área total sob a curva de densidade deve ser 1; como a densidade é constante, a área é altura \times largura, logo \dfrac{1}{b-a}\cdot(b-a)=1.]

Passo 3

Agora aplicamos isso ao nosso caso específico com a=100 e b=200. A densidade é
f_X(x)=\frac{1}{200-100}=\frac{1}{100}=0,01\quad\text{para }x\in[100,200].
Aqui \,x representa qualquer valor que X possa assumir dentro de [100,200].

Passo 4

A probabilidade pedida é a área sob a densidade entre x=140 e x=160. Usamos a integral da pdf nesse intervalo:
P(140\le X\le 160)=\int_{140}^{160} f_X(x)\,dx=\int_{140}^{160}\frac{1}{100}\,dx.
Como \frac{1}{100} é constante, a integral fica
P(140\le X\le 160)=\frac{1}{100}\cdot(160-140)=\frac{20}{100}=0,2.
Interpretações equivalentes: a probabilidade é também a razão entre o comprimento do subintervalo e o comprimento total,
\frac{160-140}{200-100}=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}=0,2,
ou seja, 20\%.

Passo 5

Pequeno reforço para fixar: para qualquer uniforme [a,b] a probabilidade de cair num subintervalo [c,d]\subset[a,b] é \dfrac{d-c}{b-a}. Exemplo rápido: se X\sim\text{Uniforme}[0,1], então P(0{,}2\le X\le 0{,}5)=0{,}5-0{,}2=0{,}3.

Resposta

P(140\le X\le 160)=0,2=\dfrac{1}{5}=20\%

Exercícios relacionados