(*) Quantas formas distintas existem para arranjar 4 quanta entre 3 átomos em um sólido?

Passo 1

O enunciado pergunta quantas formas distintas existem para arranjar 4 quanta entre 3 átomos em um sólido. Informações relevantes e hipóteses que vou usar (estou a considerar o enunciado bem formado, conforme combinado):
  • Temos 4 quanta idênticos (não há diferença entre os quanta).
  • Temos 3 átomos distintos (cada átomo é identificado; por exemplo, átomo A, B e C).
  • Um átomo pode receber 0 quanta (o enunciado não proíbe átomos vazios).
  • A pergunta pede o número de arranjos distintos levando em conta que só importa quantos quanta cada átomo recebe (ordem entre quanta irrelevante).

Passo 2

Vamos traduzir o problema para uma equação com variáveis inteiras. Seja:
x_1, x_2, x_3
o número de quanta nos átomos 1,2,3, respectivamente. O que queremos é contar soluções inteiras não-negativas da equação
x_1 + x_2 + x_3 = 4,
com x_i \ge 0 para cada i. Explicar isso devagar: cada solução (x_1,x_2,x_3) corresponde a um arranjo distinto, porque os átomos são distinguíveis. Por exemplo (3,1,0) significa átomo 1 tem 3 quanta, átomo 2 tem 1 e átomo 3 tem 0.

Passo 3

Agora uma maneira bem concreta (visual) de ver o problema: pense nos 4 quanta como quatro estrelas
*\;*\;*\;*
e para separar os quanta atribuídos aos 3 átomos usemos 2 barras (separadores). Cada disposição de estrelas e barras numa linha corresponde a uma distribuição. Por exemplo:
* * \;|\; * \;|\; *
significa 2 quanta no átomo 1, 1 no átomo 2 e 1 no átomo 3, ou seja (2,1,1). Em geral, com k quanta e n átomos representamos k estrelas e n-1 barras, e qualquer arranjo linear das k+(n-1) símbolos dá uma distribuição.

Passo 4

No nosso caso k=4 e n=3. Então temos 4 estrelas e 2 barras, totalizando 6 posições. Qualquer escolha de 2 dessas 6 posições para colocar as barras determina uma distribuição única (as demais posições ficam com estrelas). Logo o número de arranjos é o número de maneiras de escolher 2 posições dentre 6, isto é
\binom{6}{2}.
Aqui \binom{6}{2} é o coeficiente binomial que conta subconjuntos de 2 elementos em um conjunto de 6, e a fórmula é
\binom{6}{2}=\frac{6\cdot 5}{2\cdot 1}.

Passo 5

Calculemos a combinação:
\binom{6}{2}=\frac{6\cdot 5}{2}=15.
Portanto, por esse raciocínio das estrelas-e-barras, existem 15 distribuições distintas.

Passo 6

Para consolidar a intuição, vamos enumerar todas as soluções de \;x_1+x_2+x_3=4 com x_i\ge 0; (cada uma é um arranjo distinto):
(4,0,0)
(3,1,0),\;(3,0,1)
(2,2,0),\;(2,1,1),\;(2,0,2)
(1,3,0),\;(1,2,1),\;(1,1,2),\;(1,0,3)
(0,4,0),\;(0,3,1),\;(0,2,2),\;(0,1,3),\;(0,0,4)
Contando estas soluções obtemos 1+2+3+4+5=15, checando o resultado anterior.

Passo 7

Uma forma geral que vale decorar (útil em prova): o número de soluções inteiras não-negativas da equação
x_1+\dots+x_n = k
é
\binom{k+n-1}{n-1}.
Aplicando com k=4 e n=3 recuperamos \binom{6}{2}=15.

Resposta

15

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