(*) Quantas formas distintas existem para arranjar 4 quanta entre 3 átomos em um sólido?
Passo 1
O enunciado pergunta quantas formas distintas existem para arranjar
quanta entre
átomos em um sólido. Informações relevantes e hipóteses que vou usar (estou a considerar o enunciado bem formado, conforme combinado):
- Temos
quanta idênticos (não há diferença entre os quanta). - Temos
átomos distintos (cada átomo é identificado; por exemplo, átomo A, B e C). - Um átomo pode receber
quanta (o enunciado não proíbe átomos vazios). - A pergunta pede o número de arranjos distintos levando em conta que só importa quantos quanta cada átomo recebe (ordem entre quanta irrelevante).
Passo 2
Vamos traduzir o problema para uma equação com variáveis inteiras. Seja:
o número de quanta nos átomos
, respectivamente. O que queremos é contar soluções inteiras não-negativas da equação
com
para cada
. Explicar isso devagar: cada solução
corresponde a um arranjo distinto, porque os átomos são distinguíveis. Por exemplo
significa átomo 1 tem
quanta, átomo 2 tem
e átomo 3 tem
.
Passo 3
Agora uma maneira bem concreta (visual) de ver o problema: pense nos
quanta como quatro estrelas
e para separar os quanta atribuídos aos
átomos usemos
barras (separadores). Cada disposição de estrelas e barras numa linha corresponde a uma distribuição. Por exemplo:
significa
quanta no átomo 1,
no átomo 2 e
no átomo 3, ou seja
. Em geral, com
quanta e
átomos representamos
estrelas e
barras, e qualquer arranjo linear das
símbolos dá uma distribuição.
Passo 4
No nosso caso
e
. Então temos
estrelas e
barras, totalizando
posições. Qualquer escolha de
dessas
posições para colocar as barras determina uma distribuição única (as demais posições ficam com estrelas). Logo o número de arranjos é o número de maneiras de escolher
posições dentre
, isto é
Aqui
é o coeficiente binomial que conta subconjuntos de
elementos em um conjunto de
, e a fórmula é
Passo 5
Calculemos a combinação:
Portanto, por esse raciocínio das estrelas-e-barras, existem
distribuições distintas.
Passo 6
Para consolidar a intuição, vamos enumerar todas as soluções de
com
; (cada uma é um arranjo distinto):
Contando estas soluções obtemos
, checando o resultado anterior.
Passo 7
Uma forma geral que vale decorar (útil em prova): o número de soluções inteiras não-negativas da equação
é
Aplicando com
e
recuperamos
.