(*) Quantas formas distintas existem para obter 5 caras ao fazer 10 lançamentos de uma moeda honesta? Quantas formas distintas existem para não obter caras em 10 lançamentos de uma moeda honesta?

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas claras e nos dá uma informação sobre a moeda:
  • Pergunta A: Quantas formas distintas existem para obter exatamente \!5\! caras ao fazer \!10\! lançamentos de uma moeda honesta?
  • Pergunta B: Quantas formas distintas existem para não obter caras (ou seja, zero caras) em \!10\! lançamentos da mesma moeda?
    Informações dadas: a moeda é honesta e fazemos \!10\! lançamentos. Não há outras restrições — cada lançamento resulta em cara (C) ou coroa (K) e sequências diferentes de resultados contam como formas distintas.

Passo 2

Vamos entender o que significa “formas distintas” aqui. Cada resultado dos \!10\! lançamentos é uma sequência de \!10\! símbolos, cada símbolo sendo cara (C) ou coroa (K). Por exemplo, uma sequência possível é C C K K C K K C K C. Duas sequências são diferentes se, em alguma posição, um lançamento deu resultados diferentes. Então contar “formas distintas” = contar sequências diferentes que satisfazem a condição pedida (exatamente \!5\! caras, ou zero caras).

Passo 3

Estratégia para a Pergunta A (exatamente \!5\! caras): em uma sequência de \!10\! lançamentos, basta escolher em quais posições (entre as \!10\!) estarão as \!5\! caras; as outras posições serão coroas. Portanto o problema reduz-se a: de \!10\! posições, escolher \!5\! posições para colocar as caras. O número de maneiras de fazer isso é dado por uma combinação, que vamos definir e calcular.

Passo 4

Definição e explicação de combinação: o número de maneiras de escolher \!k\! objetos dentre \!n\! sem ordem é a combinação \displaystyle \binom{n}{k}. A fórmula é
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!},
onde \!n! (fatorial de \!n\!) é \!n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1. Por exemplo, \!5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120. A ideia: o numerador conta as permutações e o denominador remove as ordens internas que não interessam quando escolhemos um subconjunto sem ordem.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso caso: para escolher \!5\! posições entre \!10\!,
\binom{10}{5} = \frac{10!}{5!\,5!}.
Vamos calcular esse valor de forma simplificada (sem precisar escrever \!10! inteiro). Escrevemos os fatores maiores do numerador e simplificamos com o denominador:
\binom{10}{5} = \frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5!}{5!\cdot5!} = \frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Agora fazemos cancelamentos e multiplicações passo a passo:
  • Podemos simplificar \frac{10}{5}=2.
  • Podemos simplificar \frac{8}{4}=2.
  • Podemos simplificar \frac{9}{3}=3.
  • Podemos simplificar \frac{6}{2}=3.
    Sobrou dividir por 1 que não altera.
    Então o numerador simplificado fica 2\cdot3\cdot2\cdot7\cdot3.
    Calculando: 2\cdot3=6, 6\cdot2=12, 12\cdot7=84, 84\cdot3=252.
    Portanto
\binom{10}{5}=252.
Intuição rápida: existem \!252\! sequências distintas de \!10\! lançamentos com exatamente \!5\! caras.

Passo 6

Pequeno exemplo para fixar a ideia (mais intuitivo): com \!3\! lançamentos, quantas formas de obter exatamente \!2\! caras? Escolhemos 2 posições entre 3, ou seja \binom{3}{2}=\frac{3!}{2!1!}=3. Listando: C C K, C K C, K C C — exatamente \!3\! formas. Isso é análogo ao caso \!10,5\! só que maior.

Passo 7

Agora a Pergunta B (zero caras): “não obter caras” significa que todas as \!10\! posições são coroas. Quantas sequências diferentes têm zero caras? Temos duas maneiras de ver:
  • Diretamente: se todos os lançamentos são coroa, há somente 1 sequência possível: K K K K K K K K K K.
  • Pela fórmula de combinação: escolher \!0\! posições para as caras entre \!10\! é \displaystyle \binom{10}{0}=\frac{10!}{0!\,10!}=1 (por definição \!0! = 1).
    Portanto há exatamente \!1\! forma.

Passo 8

Resumo e incentivo: pronto — conseguimos transformar a contagem de sequências em um problema de combinações e calcular sem calculadora com cancelamentos. Se a prova pedir probabilidade, aí dividiríamos esses números por 2^{10} (o número total de sequências), mas aqui só pediram as contagens.

Resposta

Número de formas com exatamente \!5\! caras: \displaystyle \binom{10}{5}=252
Número de formas sem caras em \!10\! lançamentos: \displaystyle \binom{10}{0}=1

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