(*) Quantas formas distintas existem para obter 5 caras ao fazer 10 lançamentos de uma moeda honesta? Quantas formas distintas existem para não obter caras em 10 lançamentos de uma moeda honesta?
Passo 1
O enunciado faz duas perguntas claras e nos dá uma informação sobre a moeda:
- Pergunta A: Quantas formas distintas existem para obter exatamente
caras ao fazer lançamentos de uma moeda honesta? - Pergunta B: Quantas formas distintas existem para não obter caras (ou seja, zero caras) em
lançamentos da mesma moeda?
Informações dadas: a moeda é honesta e fazemoslançamentos. Não há outras restrições — cada lançamento resulta em cara (C) ou coroa (K) e sequências diferentes de resultados contam como formas distintas.
Passo 2
Vamos entender o que significa “formas distintas” aqui. Cada resultado dos
lançamentos é uma sequência de
símbolos, cada símbolo sendo cara (C) ou coroa (K). Por exemplo, uma sequência possível é C C K K C K K C K C. Duas sequências são diferentes se, em alguma posição, um lançamento deu resultados diferentes. Então contar “formas distintas” = contar sequências diferentes que satisfazem a condição pedida (exatamente
caras, ou zero caras).
Passo 3
Estratégia para a Pergunta A (exatamente
caras): em uma sequência de
lançamentos, basta escolher em quais posições (entre as
) estarão as
caras; as outras posições serão coroas. Portanto o problema reduz-se a: de
posições, escolher
posições para colocar as caras. O número de maneiras de fazer isso é dado por uma combinação, que vamos definir e calcular.
Passo 4
Definição e explicação de combinação: o número de maneiras de escolher
objetos dentre
sem ordem é a combinação
. A fórmula é
onde
(fatorial de
) é
. Por exemplo,
. A ideia: o numerador conta as permutações e o denominador remove as ordens internas que não interessam quando escolhemos um subconjunto sem ordem.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao nosso caso: para escolher
posições entre
,
Vamos calcular esse valor de forma simplificada (sem precisar escrever
inteiro). Escrevemos os fatores maiores do numerador e simplificamos com o denominador:
Agora fazemos cancelamentos e multiplicações passo a passo:
- Podemos simplificar
. - Podemos simplificar
. - Podemos simplificar
. - Podemos simplificar
.
Sobrou dividir porque não altera.
Então o numerador simplificado fica.
Calculando:, , , .
Portanto
Intuição rápida: existem
sequências distintas de
lançamentos com exatamente
caras.
Passo 6
Pequeno exemplo para fixar a ideia (mais intuitivo): com
lançamentos, quantas formas de obter exatamente
caras? Escolhemos 2 posições entre 3, ou seja
. Listando: C C K, C K C, K C C — exatamente
formas. Isso é análogo ao caso
só que maior.
Passo 7
Agora a Pergunta B (zero caras): “não obter caras” significa que todas as
posições são coroas. Quantas sequências diferentes têm zero caras? Temos duas maneiras de ver:
- Diretamente: se todos os lançamentos são coroa, há somente 1 sequência possível: K K K K K K K K K K.
- Pela fórmula de combinação: escolher
posições para as caras entre é (por definição ).
Portanto há exatamenteforma.
Passo 8
Resumo e incentivo: pronto — conseguimos transformar a contagem de sequências em um problema de combinações e calcular sem calculadora com cancelamentos. Se a prova pedir probabilidade, aí dividiríamos esses números por
(o número total de sequências), mas aqui só pediram as contagens.
Resposta
Número de formas com exatamente
caras:
Número de formas sem caras em lançamentos:
Número de formas sem caras em