De quantas formas podemos colocar 4 bolas verdes e 4 bolas amarelas em um tabuleiro
coluna e cada linha possua exatamente uma bola de cada cor?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um tabuleiro 4×4 e queremos colocar 4 bolas verdes e 4 bolas amarelas de modo que, em cada uma das 4 linhas e em cada uma das 4 colunas, haja exatamente uma bola verde e exatamente uma bola amarela.
Conteúdo da matéria: princípio de contagem, permutações e “derangements” (permutação sem ponto fixo). Vamos modelar a posição das bolas verdes como uma permutação e a das amarelas como outra, com uma condição de não colidirem.
Conteúdo da matéria: princípio de contagem, permutações e “derangements” (permutação sem ponto fixo). Vamos modelar a posição das bolas verdes como uma permutação e a das amarelas como outra, com uma condição de não colidirem.
Passo 2
Primeiro, escolhe onde vão as bolas verdes.
- Cada linha deve ter uma única bola verde.
- Cada coluna deve ter uma única bola verde.
Isso é exatamente uma matriz de permutação de tamanho 4, ou seja, uma permutação de {1,2,3,4}.
Número de maneiras = 4! = 24.
Passo 3
Agora, coloca as bolas amarelas.
Elas também têm que formar uma permutação (uma bola em cada linha e em cada coluna).
Mas não podem “esbarrar” nas verdes, ou seja, não podemos colocar uma bola amarela na mesma casa onde já tem verde.
Elas também têm que formar uma permutação (uma bola em cada linha e em cada coluna).
Mas não podem “esbarrar” nas verdes, ou seja, não podemos colocar uma bola amarela na mesma casa onde já tem verde.
Passo 4
Vamos simplificar: imagine que a permutação das verdes é a identidade, g(i)=i. Por simetria, isso não muda a contagem total, só rotaciona as soluções.
Para as amarelas, precisamos de uma permutação y de {1,2,3,4} tal que y(i)≠g(i)=i para todo i.
Isso é justamente o número de derangements de 4 elementos, denotado D₄.
Para as amarelas, precisamos de uma permutação y de {1,2,3,4} tal que y(i)≠g(i)=i para todo i.
Isso é justamente o número de derangements de 4 elementos, denotado D₄.
Passo 5
A fórmula geral de derangements é
Para n=4:
Passo 6
Como havia 24 jeitos de pôr as verdes e, para cada um, 9 jeitos de pôr as amarelas, o total é
Resposta
O número de formas é
.