De quantas formas podemos colocar 4 bolas verdes e 4 bolas amarelas em um tabuleiro 4 times 4 coluna e cada linha possua exatamente uma bola de cada cor?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um tabuleiro 4×4 e queremos colocar 4 bolas verdes e 4 bolas amarelas de modo que, em cada uma das 4 linhas e em cada uma das 4 colunas, haja exatamente uma bola verde e exatamente uma bola amarela.
Conteúdo da matéria: princípio de contagem, permutações e “derangements” (permutação sem ponto fixo). Vamos modelar a posição das bolas verdes como uma permutação e a das amarelas como outra, com uma condição de não colidirem.

Passo 2

Primeiro, escolhe onde vão as bolas verdes.
  • Cada linha deve ter uma única bola verde.
  • Cada coluna deve ter uma única bola verde.
    Isso é exatamente uma matriz de permutação de tamanho 4, ou seja, uma permutação de {1,2,3,4}.
    Número de maneiras = 4! = 24.

Passo 3

Agora, coloca as bolas amarelas.
Elas também têm que formar uma permutação (uma bola em cada linha e em cada coluna).
Mas não podem “esbarrar” nas verdes, ou seja, não podemos colocar uma bola amarela na mesma casa onde já tem verde.

Passo 4

Vamos simplificar: imagine que a permutação das verdes é a identidade, g(i)=i. Por simetria, isso não muda a contagem total, só rotaciona as soluções.
Para as amarelas, precisamos de uma permutação y de {1,2,3,4} tal que y(i)≠g(i)=i para todo i.
Isso é justamente o número de derangements de 4 elementos, denotado D₄.

Passo 5

A fórmula geral de derangements é
Dn = n!sumk=0^n(-1)^kk!
Para n=4:
D4 = 4!l(1 - 11! + 12! - 13! + 14!r) = 24l(1 - 1 + tfrac12 - tfrac16 + tfrac124r) = 24l(tfrac12 - tfrac16 + tfrac124r) = 24cdottfrac12 - 4 + 124 = 9

Passo 6

Como havia 24 jeitos de pôr as verdes e, para cada um, 9 jeitos de pôr as amarelas, o total é
24 times 9 = 216

Resposta

O número de formas é boxed216.

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