Quantos desses divisores de 3600 são quadrados perfeitos?
Passo 1
Beleza, o enunciado pede: “Quantos divisores de 3600 são quadrados perfeitos?”
Conteúdo: teoria de divisores e quadrados perfeitos, usando fatoração em primos e contagem de expoentes.
O que vamos precisar:
Conteúdo: teoria de divisores e quadrados perfeitos, usando fatoração em primos e contagem de expoentes.
O que vamos precisar:
- Fatorar 3600 em primos.
- Saber que um divisor é quadrado perfeito quando todos os expoentes na fatoração são pares.
- Contar quantas combinações de expoentes pares cabem dentro dos limites da fatoração.
Passo 2
Primeiro, fatoramos 3600:
3600 = 36 × 100 = (6²) × (10²)
Mas vamos direto em primos:
36 = 2² × 3²
100 = 2² × 5²
Logo
3600 = 2²·3² × 2²·5² = 2⁴·3²·5²
3600 = 36 × 100 = (6²) × (10²)
Mas vamos direto em primos:
36 = 2² × 3²
100 = 2² × 5²
Logo
3600 = 2²·3² × 2²·5² = 2⁴·3²·5²
Passo 3
Qualquer divisor d de 3600 tem forma
d = 2ᵃ · 3ᵇ · 5ᶜ
onde 0 ≤ a ≤ 4, 0 ≤ b ≤ 2, 0 ≤ c ≤ 2.
d = 2ᵃ · 3ᵇ · 5ᶜ
onde 0 ≤ a ≤ 4, 0 ≤ b ≤ 2, 0 ≤ c ≤ 2.
Passo 4
Para d ser quadrado perfeito, cada expoente a, b, c deve ser par.
Os possíveis valores pares em cada caso:
Os possíveis valores pares em cada caso:
- a ∈ {0, 2, 4}
- b ∈ {0, 2}
- c ∈ {0, 2}
Passo 5
Agora contamos quantas escolhas temos em cada variável:
- 3 opções para a (0,2,4)
- 2 opções para b (0,2)
- 2 opções para c (0,2)
Como as escolhas são independentes, multiplicamos:
Total = 3 × 2 × 2 = 12
Total = 3 × 2 × 2 = 12
Resposta
12 divisores de 3600 são quadrados perfeitos.