Quantas funções de 1,2,3 para star, bul<=t existem? Quantas delas são injetivas? Quantas delas são sobrejetivas?

Passo 1

O enunciado pede para contar funções de A=1,2,3 (domínio de tamanho 3) em B=star,bul<=t (codomínio de tamanho 2). Precisamos usar contagem de funções em combinatória: total de funções, funções injetivas e funções sobrejetivas.

Passo 2

Para contar o total de funções de um conjunto de tamanho m em um conjunto de tamanho n, usamos que cada um dos m elementos do domínio pode ir em qualquer um dos n valores do codomínio. Logo o total é
n^m
Aqui m=3 e n=2, então
total de funções = 2^3 = 8 çõ

Passo 3

Uma função é injetiva se elementos distintos do domínio têm imagens distintas. Para existir injeção, é preciso ter m<= n. Mas aqui m=3 e n=2, ou seja 3>2, logo não há como atribuir 3 valores distintos a apenas 2 alvos. Portanto
número de funções injetivas = 0 úçõ

Passo 4

Uma função é sobrejetiva se cada elemento do codomínio tem pelo menos uma pré-imagem. Podemos usar inclusão-exclusão: o total de funções é 2^3, mas subtraímos as funções que deixam de atingir um dos 2 valores. Há binom21=2 maneiras de escolher qual valor fica de fora e, se deixamos um valor fora, todas as 3 imagens devem ir no único valor restante, o que dá 1^3=1 função em cada caso. Logo
número de funções sobrejetivas =2^3 - binom21,1^3 =8 - 2cdot1 =6 úçõ

Resposta

Total de funções: 8
Funções injetivas: 0
Funções sobrejetivas: 6

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