Quantas funções de
para
existem? Quantas delas são injetivas? Quantas delas são sobrejetivas?
Passo 1
O enunciado pede para contar funções de
(domínio de tamanho 3) em
(codomínio de tamanho 2). Precisamos usar contagem de funções em combinatória: total de funções, funções injetivas e funções sobrejetivas.
Passo 2
Para contar o total de funções de um conjunto de tamanho
em um conjunto de tamanho
, usamos que cada um dos
elementos do domínio pode ir em qualquer um dos
valores do codomínio. Logo o total é
Aqui
e
, então
Passo 3
Uma função é injetiva se elementos distintos do domínio têm imagens distintas. Para existir injeção, é preciso ter
. Mas aqui
e
, ou seja
, logo não há como atribuir 3 valores distintos a apenas 2 alvos. Portanto
Passo 4
Uma função é sobrejetiva se cada elemento do codomínio tem pelo menos uma pré-imagem. Podemos usar inclusão-exclusão: o total de funções é
, mas subtraímos as funções que deixam de atingir um dos 2 valores. Há
maneiras de escolher qual valor fica de fora e, se deixamos um valor fora, todas as 3 imagens devem ir no único valor restante, o que dá
função em cada caso. Logo
Resposta
Total de funções:
Funções injetivas:
Funções sobrejetivas:
Funções injetivas:
Funções sobrejetivas: