De quantas maneiras diferentes as letras a, a, a, a, b, b, b, c, c, d podem ser distribuídas entre duas pessoas?

Passo 1

O enunciado pede: de quantas maneiras diferentes as letras a,a,a,a,b,b,b,c,c,d podem ser distribuídas entre duas pessoas. Informações dadas:
  • 4 letras a, 3 letras b, 2 letras c e 1 letra d.
  • As duas pessoas são consideradas distintas (por exemplo, Pessoa 1 e Pessoa 2).
    A pergunta é: quantas distribuições distintas existem, levando em conta que letras iguais são indistinguíveis entre si?

Passo 2

Entendendo o problema de forma prática (ideia chave).
Como letras iguais são indistinguíveis, o que importa para descrever uma distribuição é, para cada tipo de letra, quantas cópias dessa letra vão para a Pessoa 1 (as restantes vão automaticamente para a Pessoa 2). Por exemplo, se a Pessoa 1 recebe duas letras a, então a Pessoa 2 recebe as outras duas a; não importa qual cópia específica de a foi para quem.
Assim, para cada tipo de letra temos um número inteiro que pode variar entre 0 e o total daquela letra. Esses números para letras diferentes são escolhidos independentemente entre si. Aplicando o princípio multiplicativo (regra do produto): o número total de distribuições é o produto, sobre cada tipo de letra, do número de escolhas possíveis para aquele tipo.

Passo 3

Contando as escolhas por tipo de letra:
  • Para as 4 letras a a Pessoa 1 pode receber 0,1,2,3 ou 4 cópias. Isso dá 4+1=5 opções.
  • Para as 3 letras b a Pessoa 1 pode receber 0,1,2 ou 3 cópias. Isso dá 3+1=4 opções.
  • Para as 2 letras c a Pessoa 1 pode receber 0,1 ou 2 cópias. Isso dá 2+1=3 opções.
  • Para a 1 letra d a Pessoa 1 pode receber 0 ou 1 cópia. Isso dá 1+1=2 opções.
Esses quatro tipos de escolha são independentes, então pelo princípio multiplicativo:
\text{total} = 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2.

Passo 4

Faço a multiplicação passo a passo (para poder fazer sem calculadora):
5\cdot 4 = 20,
20\cdot 3 = 60,
60\cdot 2 = 120.
Portanto o total de distribuições distintas é 120.
Observação curta (para fixar a ideia): cada distribuição corresponde a uma quádrupla (x_a,x_b,x_c,x_d) onde \,0\le x_a\le4,\;0\le x_b\le3,\;0\le x_c\le2,\;0\le x_d\le1, e cada quádrupla diferencia uma distribuição porque as letras iguais não distinguem posições.

Passo 5

Mensagem de incentivo: beleza — a ideia é sempre reduzir o problema de itens repetidos a escolher quantos de cada tipo vão para uma pessoa, e multiplicar as possibilidades. Essa técnica é muito prática em provas quando os objetos são indistinguíveis por tipo.

Resposta

120

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