De quantas maneiras diferentes as letras a, a, a, a, b, b, b, c, c, d podem ser distribuídas entre duas pessoas?
Passo 1
O enunciado pede: de quantas maneiras diferentes as letras
podem ser distribuídas entre duas pessoas. Informações dadas:
- Há
letras , letras , letras e letra . - As duas pessoas são consideradas distintas (por exemplo, Pessoa 1 e Pessoa 2).
A pergunta é: quantas distribuições distintas existem, levando em conta que letras iguais são indistinguíveis entre si?
Passo 2
Entendendo o problema de forma prática (ideia chave).
Como letras iguais são indistinguíveis, o que importa para descrever uma distribuição é, para cada tipo de letra, quantas cópias dessa letra vão para a Pessoa 1 (as restantes vão automaticamente para a Pessoa 2). Por exemplo, se a Pessoa 1 recebe duas letras , então a Pessoa 2 recebe as outras duas
; não importa qual cópia específica de
foi para quem.
Como letras iguais são indistinguíveis, o que importa para descrever uma distribuição é, para cada tipo de letra, quantas cópias dessa letra vão para a Pessoa 1 (as restantes vão automaticamente para a Pessoa 2). Por exemplo, se a Pessoa 1 recebe duas letras
Assim, para cada tipo de letra temos um número inteiro que pode variar entre
e o total daquela letra. Esses números para letras diferentes são escolhidos independentemente entre si. Aplicando o princípio multiplicativo (regra do produto): o número total de distribuições é o produto, sobre cada tipo de letra, do número de escolhas possíveis para aquele tipo.
Passo 3
Contando as escolhas por tipo de letra:
- Para as
letras a Pessoa 1 pode receber ou cópias. Isso dá opções. - Para as
letras a Pessoa 1 pode receber ou cópias. Isso dá opções. - Para as
letras a Pessoa 1 pode receber ou cópias. Isso dá opções. - Para a
letra a Pessoa 1 pode receber ou cópia. Isso dá opções.
Esses quatro tipos de escolha são independentes, então pelo princípio multiplicativo:
Passo 4
Faço a multiplicação passo a passo (para poder fazer sem calculadora):
Portanto o total de distribuições distintas é
.
Observação curta (para fixar a ideia): cada distribuição corresponde a uma quádrupla
onde
, e cada quádrupla diferencia uma distribuição porque as letras iguais não distinguem posições.
Passo 5
Mensagem de incentivo: beleza — a ideia é sempre reduzir o problema de itens repetidos a escolher quantos de cada tipo vão para uma pessoa, e multiplicar as possibilidades. Essa técnica é muito prática em provas quando os objetos são indistinguíveis por tipo.