Quantos são os divisores do número 126.000 ?
Passo 1
O enunciado pede claramente: “Quantos são os divisores do número
?”
Informação dada:
Informação dada:
- O número inteiro cujo conjunto de divisores queremos contar é
.
Passo 2
Estratégia que vamos usar (sem exagerar de teoria): para contar divisores é muito eficiente obter a fatoração do número em primos e aplicar uma fórmula simples. Vou explicar cada etapa com calma e mostrar por que a fórmula funciona.
Passo 3
Vamos fatorar
. Uma observação prática:
é igual a
vezes
. Escrevo isso em forma matemática:
Agora fatoro cada parte separadamente.
Passo 4
Fatorando
:
Fatorando
:
Passo 5
Agora combinamos os fatores das duas partes:
Ao multiplicar, somam-se os expoentes de cada primo:
Passo 6
Agora a fórmula para contar divisores (explicação didática):
Se um número inteiro positivo tem fatoração em primos
Se um número inteiro positivo
onde cada
é um primo distinto e cada
é um inteiro positivo, então todo divisor positivo de
é da forma
onde para cada
o expoente
pode ser
. Ou seja, para o primo
há
escolhas possíveis para
. Como as escolhas para diferentes primos são independentes, o número total de divisores positivos de
é o produto
Exemplo pequeno para fixar:
. Então tem
divisores, que são
. Isso confirma a ideia.
Passo 7
Aplicando a fórmula ao nosso caso, onde já encontramos
temos os expoentes
,
,
,
. Assim o número de divisores é
Faço a multiplicação passo a passo:
Passo 8
Dica rápida para a prova: sempre tente decompor por fatores óbvios (potências de
, pares, múltiplos de
, etc.) como fiz aqui com
. Somar expoentes ao combinar fatores e depois aplicar
é um caminho seguro e rápido.