Quantos são os divisores do número 126.000 ?

Passo 1

O enunciado pede claramente: “Quantos são os divisores do número 126000?”
Informação dada:
  • O número inteiro cujo conjunto de divisores queremos contar é 126000.

Passo 2

Estratégia que vamos usar (sem exagerar de teoria): para contar divisores é muito eficiente obter a fatoração do número em primos e aplicar uma fórmula simples. Vou explicar cada etapa com calma e mostrar por que a fórmula funciona.

Passo 3

Vamos fatorar 126000. Uma observação prática: 126000 é igual a 126 vezes 1000. Escrevo isso em forma matemática:
126000 = 126 \cdot 1000.
Agora fatoro cada parte separadamente.

Passo 4

Fatorando 126:
126 = 2 \cdot 63 = 2 \cdot 3 \cdot 21 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 7.
Fatorando 1000:
1000 = 10^{3} = (2\cdot 5)^{3} = 2^{3} \cdot 5^{3}.

Passo 5

Agora combinamos os fatores das duas partes:
126000 = (2 \cdot 3^{2} \cdot 7) \cdot (2^{3} \cdot 5^{3}).
Ao multiplicar, somam-se os expoentes de cada primo:
126000 = 2^{1+3} \cdot 3^{2} \cdot 5^{3} \cdot 7^{1} = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5^{3} \cdot 7^{1}.

Passo 6

Agora a fórmula para contar divisores (explicação didática):
Se um número inteiro positivo n tem fatoração em primos
n = \prod_{i=1}^{k} p_{i}^{a_{i}},
onde cada p_{i} é um primo distinto e cada a_{i} é um inteiro positivo, então todo divisor positivo de n é da forma
d = \prod_{i=1}^{k} p_{i}^{b_{i}},
onde para cada i o expoente b_{i} pode ser 0,1,2,\dots,a_{i}. Ou seja, para o primo p_{i} (a_{i}+1) escolhas possíveis para b_{i}. Como as escolhas para diferentes primos são independentes, o número total de divisores positivos de n é o produto
\tau(n)=\prod_{i=1}^{k} (a_{i}+1).
Exemplo pequeno para fixar: 12=2^{2}\cdot3^{1}. Então tem (2+1)(1+1)=3\cdot2=6 divisores, que são 1,2,3,4,6,12. Isso confirma a ideia.

Passo 7

Aplicando a fórmula ao nosso caso, onde já encontramos
126000 = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5^{3} \cdot 7^{1},
temos os expoentes a_{2}=4, a_{3}=2, a_{5}=3, a_{7}=1. Assim o número de divisores é
(4+1)\cdot(2+1)\cdot(3+1)\cdot(1+1) = 5\cdot3\cdot4\cdot2.
Faço a multiplicação passo a passo:
5\cdot3 = 15, \qquad 15\cdot4 = 60, \qquad 60\cdot2 = 120.

Passo 8

Dica rápida para a prova: sempre tente decompor por fatores óbvios (potências de 10, pares, múltiplos de 3, etc.) como fiz aqui com 126\cdot1000. Somar expoentes ao combinar fatores e depois aplicar \prod (a_i+1) é um caminho seguro e rápido.

Resposta

120

Exercícios relacionados