Considerando os dígitos
e 5 , quantos números de 3 algarismos podem ser formados?
Passo 1
O enunciado dá os dígitos
e pede: quantos números de 3 algarismos podem ser formados?
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Conjunto de dígitos disponíveis:
. - Quer-se formar números com exatamente 3 algarismos (ou seja, sequências ordenadas de comprimento 3).
- O enunciado não especifica se um dígito pode ser repetido ou não (ambas as interpretações são comuns).
Passo 2
Escolha do método e porquê: vou resolver assumindo primeiro a interpretação mais comum em exercícios de contagem combinatória: formar números usando os dígitos sem repetição (cada dígito pode aparecer no número no máximo uma vez).
Raciocínio para essa escolha: muitas questões que dizem “formados” e dão um conjunto de dígitos esperam permutações sem repetição; além disso essa versão envolve a ideia fundamental de permutações que costuma cair em provas. Em seguida eu mostro também rapidamente o caso com repetição, para você reconhecer as duas leituras na prova.
Raciocínio para essa escolha: muitas questões que dizem “formados” e dão um conjunto de dígitos esperam permutações sem repetição; além disso essa versão envolve a ideia fundamental de permutações que costuma cair em provas. Em seguida eu mostro também rapidamente o caso com repetição, para você reconhecer as duas leituras na prova.
Passo 3
Princípio fundamental da contagem (a ideia que usamos): se um processo tem etapas em sequência e a etapa
pode ocorrer de
maneiras, para cada escolha da etapa
a etapa
pode ocorrer de
maneiras, e para cada escolha das etapas
e
a etapa
pode ocorrer de
maneiras, então o número total de sequências de escolhas é
.
Aplicando ao nosso problema (sem repetição):
Aplicando ao nosso problema (sem repetição):
- Para o primeiro algarismo do número (centenas) pode-se escolher qualquer um dos
dígitos: então há opções. Observação: aqui não existe o problema do zero na primeira casa, porque zero não está entre os dígitos dados. - Depois de escolher o primeiro dígito, para o segundo algarismo (dezenas) restam
dígitos disponíveis (não permitimos repetição), então opções. - Após escolher os dois primeiros, para o terceiro algarismo (unidades) restam
dígitos, então opções.
Portanto, pelo princípio da contagem, o total é
Passo 4
Cálculo final (sem usar calculadora):
Primeiro calcule .
Depois .
Logo, o número de números de 3 algarismos formados sem repetição é .
Em notação combinatória clássica isso é a permutação de elementos tomados
a
:
Primeiro calcule
Depois
Logo, o número de números de 3 algarismos formados sem repetição é
Em notação combinatória clássica isso é a permutação de
Passo 5
Caso alternativo (com repetição permitida), para comparar e você não se confundir na prova: se repetições fossem permitidas, cada uma das 3 posições teria independentemente
opções, dando ao todo
Por isso, sempre que vir uma questão assim, cheque se o enunciado permite repetição; isso muda bastante o resultado.
Passo 6
Dica rápida para a prova: ao ver este tipo de questão verifique imediatamente (1) se dígitos podem repetir e (2) se há o dígito
entre os disponíveis (isso restringe a primeira posição). Respira fundo — está indo bem, e essa é daquelas que você resolve rápido quando reconhece o princípio da contagem!