Considerando os dígitos 1,2,3,4 e 5 , quantos números de 3 algarismos podem ser formados?

Passo 1

O enunciado dá os dígitos 1,2,3,4,5 e pede: quantos números de 3 algarismos podem ser formados?
Informações relevantes fornecidas:
  • Conjunto de dígitos disponíveis: \{1,2,3,4,5\}.
  • Quer-se formar números com exatamente 3 algarismos (ou seja, sequências ordenadas de comprimento 3).
  • O enunciado não especifica se um dígito pode ser repetido ou não (ambas as interpretações são comuns).

Passo 2

Escolha do método e porquê: vou resolver assumindo primeiro a interpretação mais comum em exercícios de contagem combinatória: formar números usando os dígitos sem repetição (cada dígito pode aparecer no número no máximo uma vez).
Raciocínio para essa escolha: muitas questões que dizem “formados” e dão um conjunto de dígitos esperam permutações sem repetição; além disso essa versão envolve a ideia fundamental de permutações que costuma cair em provas. Em seguida eu mostro também rapidamente o caso com repetição, para você reconhecer as duas leituras na prova.

Passo 3

Princípio fundamental da contagem (a ideia que usamos): se um processo tem etapas em sequência e a etapa 1 pode ocorrer de a maneiras, para cada escolha da etapa 1 a etapa 2 pode ocorrer de b maneiras, e para cada escolha das etapas 1 e 2 a etapa 3 pode ocorrer de c maneiras, então o número total de sequências de escolhas é a\cdot b\cdot c.
Aplicando ao nosso problema (sem repetição):
  • Para o primeiro algarismo do número (centenas) pode-se escolher qualquer um dos 5 dígitos: então há 5 opções. Observação: aqui não existe o problema do zero na primeira casa, porque zero não está entre os dígitos dados.
  • Depois de escolher o primeiro dígito, para o segundo algarismo (dezenas) restam 4 dígitos disponíveis (não permitimos repetição), então 4 opções.
  • Após escolher os dois primeiros, para o terceiro algarismo (unidades) restam 3 dígitos, então 3 opções.
    Portanto, pelo princípio da contagem, o total é
5\cdot 4\cdot 3.

Passo 4

Cálculo final (sem usar calculadora):
Primeiro calcule 5\cdot 4 = 20.
Depois 20\cdot 3 = 60.
Logo, o número de números de 3 algarismos formados sem repetição é 60.
Em notação combinatória clássica isso é a permutação de 5 elementos tomados 3 a 3: \,_{5}P_{3}=5\cdot4\cdot3=60.

Passo 5

Caso alternativo (com repetição permitida), para comparar e você não se confundir na prova: se repetições fossem permitidas, cada uma das 3 posições teria independentemente 5 opções, dando ao todo
5^{3}=125.
Por isso, sempre que vir uma questão assim, cheque se o enunciado permite repetição; isso muda bastante o resultado.

Passo 6

Dica rápida para a prova: ao ver este tipo de questão verifique imediatamente (1) se dígitos podem repetir e (2) se há o dígito 0 entre os disponíveis (isso restringe a primeira posição). Respira fundo — está indo bem, e essa é daquelas que você resolve rápido quando reconhece o princípio da contagem!

Resposta

60

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