Dado o conjunto A=\{1,2,3,4,5\}, quantos subconjuntos de 2 elementos A possui?

Passo 1

O enunciado dá o conjunto A=\{1,2,3,4,5\} e pede quantos subconjuntos de 2 elementos A possui.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O conjunto A tem 5 elementos.
  • Queremos contar subconjuntos com exatamente 2 elementos (ou seja, escolha de 2 elementos sem considerar ordem).

Passo 2

Primeiro, vamos entender bem o que é pedir subconjuntos de 2 elementos. Um subconjunto de 2 elementos é simplesmente uma escolha de dois elementos diferentes do conjunto A, e a ordem não importa: a escolha \{1,2\} é a mesma que \{2,1\}. Então estamos contando seleções sem ordem de tamanho 2 a partir de 5 objetos.

Passo 3

A ferramenta padrão para esse tipo de contagem é o número binomial (combinação). A fórmula para o número de maneiras de escolher k elementos de um conjunto com n elementos (sem ordem) é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) significa
n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1.
Aqui n é o total de elementos disponíveis e k é o número que queremos escolher. No nosso caso n=5 e k=2.

Passo 4

Aplicando a fórmula com n=5 e k=2:
\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!\,3!}.
Calculemos os fatoriais (passo a passo):
5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120, \qquad 2!=2\cdot1=2, \qquad 3!=3\cdot2\cdot1=6.
Então
\binom{5}{2}=\frac{120}{2\cdot6}=\frac{120}{12}=10.
Uma forma mais rápida de ver o cancelamento é escrever
\binom{5}{2}=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)\,(3\cdot2\cdot1)}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=\frac{20}{2}=10.

Passo 5

Para fixar a intuição, veja outro raciocínio equivalente e bem simples: conte as escolhas ordenadas de dois elementos (permutações) e depois corrija pela ordem. Primeiro escolhe-se o primeiro elemento de 5 formas e o segundo de 4 formas, dando 5\cdot4=20 sequências ordenadas. Como a ordem não importa, cada par não-ordenado aparece 2!=2 vezes nas sequências ordenadas. Logo o número de pares é
\frac{5\cdot4}{2}=10,
que coincide com o resultado anterior.

Passo 6

Se quiser ver explicitamente, os 10 subconjuntos de dois elementos são:
\{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{1,5\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{2,5\}, \{3,4\}, \{3,5\}, \{4,5\}.

Resposta

10

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