Dado o conjunto
, quantos subconjuntos de 2 elementos
possui?
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede quantos subconjuntos de 2 elementos
possui.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O conjunto
tem elementos. - Queremos contar subconjuntos com exatamente
elementos (ou seja, escolha de elementos sem considerar ordem).
Passo 2
Primeiro, vamos entender bem o que é pedir subconjuntos de
elementos. Um subconjunto de
elementos é simplesmente uma escolha de dois elementos diferentes do conjunto
, e a ordem não importa: a escolha
é a mesma que
. Então estamos contando seleções sem ordem de tamanho
a partir de
objetos.
Passo 3
A ferramenta padrão para esse tipo de contagem é o número binomial (combinação). A fórmula para o número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto com
elementos (sem ordem) é
onde
(fatorial de
) significa
Aqui
é o total de elementos disponíveis e
é o número que queremos escolher. No nosso caso
e
.
Passo 4
Aplicando a fórmula com
e
:
Calculemos os fatoriais (passo a passo):
Então
Uma forma mais rápida de ver o cancelamento é escrever
Passo 5
Para fixar a intuição, veja outro raciocínio equivalente e bem simples: conte as escolhas ordenadas de dois elementos (permutações) e depois corrija pela ordem. Primeiro escolhe-se o primeiro elemento de
formas e o segundo de
formas, dando
sequências ordenadas. Como a ordem não importa, cada par não-ordenado aparece
vezes nas sequências ordenadas. Logo o número de pares é
que coincide com o resultado anterior.
Passo 6
Se quiser ver explicitamente, os
subconjuntos de dois elementos são:
.
Resposta
10