De quantas maneiras 8 pessoas podem se sentar em fila se
(a) não houver restrições com relação à ordem dos assentos?
(b) as pessoas A e B tiverem que se sentar uma ao lado da outra?
(c) houver 5 homens e for necessário que eles se sentem lado a lado?
(d) houver 4 casais e cada casal precisar sentar-se junto?

Passo 1

O enunciado pede para contar as permutações de 8 pessoas sentadas em fila em diferentes situações. O conteúdo aqui é análise combinatória, mais especificamente permutações sem repetição e uso do método de blocos quando há restrições de pessoas juntas. Vamos usar a fórmula de permutação de n objetos e, nos casos com restrição, agrupar as pessoas que devem ficar juntas como um único “bloco”.

Passo 2

Para (a), sem nenhuma restrição, qualquer uma das 8 pessoas pode ocupar cada um dos 8 assentos. O número de maneiras é dado por
8!
e, como
8! = 40320,
temos 40320 arranjos.

Passo 3

Para (b), A e B devem sentar lado a lado. Tratamos A e B como um bloco: assim temos 7 objetos (o bloco AB e as outras 6 pessoas). As permutações desses 7 objetos são 7!, e dentro do bloco AB podemos trocar A com B de 2! formas. Então o total é
7! times 2!
Como 7! = 5040 e 2! = 2, o resultado é 5040 times 2 = 10080.

Passo 4

Para (c), os 5 homens devem ficar juntos. Agrupamos os 5 homens em um bloco e temos ainda 3 mulheres isoladas, totalizando 4 objetos. As permutações dos 4 objetos são 4!, e dentro do bloco de homens há 5! arranjos. Logo,
4! times 5!
Como 4! = 24 e 5! = 120, obtemos 24 times 120 = 2880.

Passo 5

Para (d), cada um dos 4 casais deve sentar junto. Formamos 4 blocos (um para cada casal), que podem ser permutados de 4! maneiras, e dentro de cada bloco há 2! arranjos. Assim o total é
4! times (2!)^4
Como 4! = 24 e 2! = 2, temos 24 times 2^4 = 24 times 16 = 384.

Resposta

(a) 40320
(b) 10080
(c) 2880
(d) 384

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