De quantas maneiras 8 pessoas podem se sentar em fila se
(a) não houver restrições com relação à ordem dos assentos?
(b) as pessoas A e B tiverem que se sentar uma ao lado da outra?
(c) houver 5 homens e for necessário que eles se sentem lado a lado?
(d) houver 4 casais e cada casal precisar sentar-se junto?
(a) não houver restrições com relação à ordem dos assentos?
(b) as pessoas A e B tiverem que se sentar uma ao lado da outra?
(c) houver 5 homens e for necessário que eles se sentem lado a lado?
(d) houver 4 casais e cada casal precisar sentar-se junto?
Passo 1
O enunciado pede para contar as permutações de
pessoas sentadas em fila em diferentes situações. O conteúdo aqui é análise combinatória, mais especificamente permutações sem repetição e uso do método de blocos quando há restrições de pessoas juntas. Vamos usar a fórmula de permutação de
objetos e, nos casos com restrição, agrupar as pessoas que devem ficar juntas como um único “bloco”.
Passo 2
Para (a), sem nenhuma restrição, qualquer uma das
pessoas pode ocupar cada um dos
assentos. O número de maneiras é dado por
e, como
temos
arranjos.
Passo 3
Para (b), A e B devem sentar lado a lado. Tratamos A e B como um bloco: assim temos
objetos (o bloco AB e as outras
pessoas). As permutações desses
objetos são
, e dentro do bloco AB podemos trocar A com B de
formas. Então o total é
Como
e
, o resultado é
.
Passo 4
Para (c), os
homens devem ficar juntos. Agrupamos os
homens em um bloco e temos ainda
mulheres isoladas, totalizando
objetos. As permutações dos
objetos são
, e dentro do bloco de homens há
arranjos. Logo,
Como
e
, obtemos
.
Passo 5
Para (d), cada um dos
casais deve sentar junto. Formamos
blocos (um para cada casal), que podem ser permutados de
maneiras, e dentro de cada bloco há
arranjos. Assim o total é
Como
e
, temos
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)