De quantas maneiras podemos distribuir 6 laranjas (iguais) entre 2 pessoas, de modo que cada uma receba pelo menos 1 laranja ?
Passo 1
O que o problema pede e os dados que temos:
- Temos
laranjas idênticas (todas iguais). - Temos
pessoas (assumir que as pessoas são distintas — por exemplo, Pessoa A e Pessoa B). - Cada pessoa deve receber pelo menos
laranja.
Pergunta: de quantas maneiras podemos distribuir aslaranjas obedecendo essas condições?
Passo 2
Tradução para uma equação inteira (forma padrão para esse tipo de problema):
- Seja
o número de laranjas que a Pessoa A recebe e o número que a Pessoa B recebe. - As condições viram:
Então o problema é contar soluções inteiras positivas dessa equação.
Passo 3
Raciocínio direto e simples (contagem elementar):
- Se
então . - Se
então . - …
- Se
então .
Note quenão pode ser (proibido) nem (porque aí seria proibido). Portanto pode assumir exatamente os valores , ou seja, possibilidades. Isso já sugere a resposta.
Passo 4
Explicação didática do princípio por trás (teorema das “estrelas e barras”):
- Para contar soluções positivas de
a ideia é representar as
unidades por
estrelas e colocar
barras para separar as partes. O número de maneiras de posicionar as
barras entre as
lacunas entre as estrelas é
- Aqui
e . Aplicando a fórmula:
Passo 5
Cálculo final pelo método geral e verificação por enumeração:
Verificando com a lista do Passo 3, as distribuições possíveis (Pessoa A, Pessoa B) são:
que são exatamente
maneiras.
Resposta
5