De quantas maneiras podemos distribuir 6 laranjas (iguais) entre 2 pessoas, de modo que cada uma receba pelo menos 1 laranja ?

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos:
  • Temos 6 laranjas idênticas (todas iguais).
  • Temos 2 pessoas (assumir que as pessoas são distintas — por exemplo, Pessoa A e Pessoa B).
  • Cada pessoa deve receber pelo menos 1 laranja.
    Pergunta: de quantas maneiras podemos distribuir as 6 laranjas obedecendo essas condições?

Passo 2

Tradução para uma equação inteira (forma padrão para esse tipo de problema):
  • Seja x_1 o número de laranjas que a Pessoa A recebe e x_2 o número que a Pessoa B recebe.
  • As condições viram:
x_1+x_2=6,\qquad x_1\ge 1,\\ x_2\ge 1,\qquad x_1,x_2\in\mathbb{Z}.
Então o problema é contar soluções inteiras positivas dessa equação.

Passo 3

Raciocínio direto e simples (contagem elementar):
  • Se x_1=1 então x_2=5.
  • Se x_1=2 então x_2=4.
  • Se x_1=5 então x_2=1.
    Note que x_1 não pode ser 0 (proibido) nem 6 (porque aí x_2=0 seria proibido). Portanto x_1 pode assumir exatamente os valores 1,2,3,4,5, ou seja, 5 possibilidades. Isso já sugere a resposta.

Passo 4

Explicação didática do princípio por trás (teorema das “estrelas e barras”):
  • Para contar soluções positivas de
x_1+x_2+\dots+x_k=n,\qquad x_i\ge1,
a ideia é representar as n unidades por n estrelas e colocar k-1 barras para separar as partes. O número de maneiras de posicionar as k-1 barras entre as n-1 lacunas entre as estrelas é
\binom{n-1}{k-1}.
  • Aqui n=6 e k=2. Aplicando a fórmula:
\binom{6-1}{2-1}=\binom{5}{1}.

Passo 5

Cálculo final pelo método geral e verificação por enumeração:
\binom{5}{1}=5.
Verificando com a lista do Passo 3, as distribuições possíveis (Pessoa A, Pessoa B) são:
(1,5),\\ (2,4),\\ (3,3),\\ (4,2),\\ (5,1),
que são exatamente 5 maneiras.

Resposta

5

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