2 De quantas maneiras podemos distribuir 6 maçãs, 7 laranjas e 8 pêras em três caixas diferentes de modo que cada caixa receba pelo menos uma fruta de cada tipo?

Passo 1

O enunciado pede para distribuir frutas idênticas em caixas distintas, com a restrição de que cada caixa receba pelo menos uma fruta de cada tipo. Vamos usar o princípio de “Stars and Bars” (barras e estrelas), que diz que a quantidade de soluções positivas da equação
x_1 + x_2 + \dots + x_k = n,\quad x_i \ge 1
é
\binom{n-1}{k-1}.

Passo 2

Para as 6 maçãs: seja x_i o número de maçãs na caixa i. Temos
x_1 + x_2 + x_3 = 6,\quad x_i \ge 1.
Pelo “Stars and Bars”, o número de distribuições é
\binom{6-1}{3-1} = \binom{5}{2} = 10.

Passo 3

Para as 7 laranjas: seja y_i o número de laranjas na caixa i. Temos
y_1 + y_2 + y_3 = 7,\quad y_i \ge 1,
logo o total de maneiras é
\binom{7-1}{3-1} = \binom{6}{2} = 15.

Passo 4

Para as 8 pêras: seja z_i o número de pêras na caixa i. Temos
z_1 + z_2 + z_3 = 8,\quad z_i \ge 1,
e o número de soluções é
\binom{8-1}{3-1} = \binom{7}{2} = 21.

Passo 5

Como as distribuições de maçãs, laranjas e pêras são independentes, o total de maneiras é o produto dos três valores:
10 \times 15 \times 21 = 3150.

Resposta

3150 maneiras.

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