De quantas maneiras podemos distribuir
objetos iguais em 2 caixas diferentes?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Temos
objetos idênticos (todos iguais entre si). - Temos 2 caixas diferentes (ou seja, as caixas são distinguíveis: caixa 1 é diferente da caixa 2).
- Queremos contar de quantas maneiras podemos distribuir os
objetos nessas 2 caixas. - Assumo (porque não foi dito o contrário) que uma caixa pode ficar vazia; isto é, é permitido que uma das caixas receba
objetos.
As perguntas objetivas que vamos responder: quantas distribuições distintas existem, levando em conta que os objetos são idênticos e as caixas são diferentes?
Passo 2
Modelagem do problema com variáveis inteiras.
- Como os objetos são idênticos, a única coisa que importa é quantos objetos vão para cada caixa, não quais objetos individualmente.
- Defina duas variáveis inteiras não negativas:
= número de objetos na caixa 1 e = número de objetos na caixa 2. - Como distribuímos exatamente todos os
objetos, essas variáveis satisfazem a equação
com as restrições
- Portanto o problema de contar distribuições se reduz a contar o número de soluções inteiras não negativas da equação acima.
Passo 3
Argumento direto e simples para contar as soluções.
- Observe que, uma vez escolhido
, o valor de fica determinado por . - Como
deve ser inteiro e satisfazer , as possibilidades para são exatamente os inteiros
- Há, portanto,
escolhas possíveis para , e cada escolha determina uma distribuição diferente (porque as caixas são diferentes). - Conclusão imediata: existem
distribuições.
Para fixar a ideia, exemplos pequenos:
- Se
: possibilidades para são — total . - Se
: e — total . - Se
: — total .
Passo 4
Forma alternativa (fórmula geral) — método das “estrelinhas e barras” e interpretação combinatória.
- Existe uma fórmula geral para o número de soluções inteiras não negativas da equação
que é
Aqui
é o coeficiente binomial (número de formas de escolher
itens entre
), e
é o número de caixas.
- Intuição do método das “estrelinhas e barras”: representar cada um dos
objetos por uma estrela colocada em sequência, e usar barras para separar as caixas. Assim qualquer arranjo linear de estrelas e barras corresponde a uma distribuição. O número total de arranjos distintos de estrelas e barras é o número de maneiras de escolher as posições das barras entre as posições totais, ou seja . - No nosso caso
. Substituindo na fórmula:
- Assim o resultado coincide com o argumento direto do Passo 3.
Passo 5
Observações finais e variações rápidas (para não se confundir na prova).
- Importante: o resultado
vale porque as caixas são diferentes. Se as caixas fossem idênticas (indistinguíveis), o número de distribuições seria o número de pares não ordenados com , que é . Mas esse é outro problema; aqui as caixas são diferentes, por isso usamos . - Dica prática para prova: sempre traduza para equações com contagens (tipo
) quando os objetos são idênticos e as caixas são diferentes. Para basta raciocinar que pode variar de a , dando casos.