De quantas maneiras podemos distribuir n objetos iguais em 2 caixas diferentes?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Temos n objetos idênticos (todos iguais entre si).
  • Temos 2 caixas diferentes (ou seja, as caixas são distinguíveis: caixa 1 é diferente da caixa 2).
  • Queremos contar de quantas maneiras podemos distribuir os n objetos nessas 2 caixas.
  • Assumo (porque não foi dito o contrário) que uma caixa pode ficar vazia; isto é, é permitido que uma das caixas receba 0 objetos.
As perguntas objetivas que vamos responder: quantas distribuições distintas existem, levando em conta que os objetos são idênticos e as caixas são diferentes?

Passo 2

Modelagem do problema com variáveis inteiras.
  • Como os objetos são idênticos, a única coisa que importa é quantos objetos vão para cada caixa, não quais objetos individualmente.
  • Defina duas variáveis inteiras não negativas: x_1 = número de objetos na caixa 1 e x_2 = número de objetos na caixa 2.
  • Como distribuímos exatamente todos os n objetos, essas variáveis satisfazem a equação
x_1 + x_2 = n,
com as restrições
x_1 \ge 0,\qquad x_2 \ge 0,\qquad x_1,x_2\in\mathbb{Z}.
  • Portanto o problema de contar distribuições se reduz a contar o número de soluções inteiras não negativas da equação acima.

Passo 3

Argumento direto e simples para contar as soluções.
  • Observe que, uma vez escolhido x_1, o valor de x_2 fica determinado por x_2 = n - x_1.
  • Como x_1 deve ser inteiro e satisfazer 0 \le x_1 \le n, as possibilidades para x_1 são exatamente os inteiros
0,1,2,\dots,n.
  • Há, portanto, n+1 escolhas possíveis para x_1, e cada escolha determina uma distribuição diferente (porque as caixas são diferentes).
  • Conclusão imediata: existem n+1 distribuições.
Para fixar a ideia, exemplos pequenos:
  • Se n=0: possibilidades para (x_1,x_2) são (0,0) — total 1=0+1.
  • Se n=1: (0,1) e (1,0) — total 2=1+1.
  • Se n=3: (0,3),(1,2),(2,1),(3,0) — total 4=3+1.

Passo 4

Forma alternativa (fórmula geral) — método das “estrelinhas e barras” e interpretação combinatória.
  • Existe uma fórmula geral para o número de soluções inteiras não negativas da equação
x_1+\cdots+x_k = n,
que é
\binom{n+k-1}{k-1}.
Aqui \binom{a}{b} é o coeficiente binomial (número de formas de escolher b itens entre a), e k é o número de caixas.
  • Intuição do método das “estrelinhas e barras”: representar cada um dos n objetos por uma estrela \ast colocada em sequência, e usar k-1 barras | para separar as k caixas. Assim qualquer arranjo linear de n estrelas e k-1 barras corresponde a uma distribuição. O número total de arranjos distintos de n estrelas e k-1 barras é o número de maneiras de escolher as posições das k-1 barras entre as n+k-1 posições totais, ou seja \binom{n+k-1}{k-1}.
  • No nosso caso k=2. Substituindo na fórmula:
\binom{n+2-1}{2-1}=\binom{n+1}{1}=n+1.
  • Assim o resultado coincide com o argumento direto do Passo 3.

Passo 5

Observações finais e variações rápidas (para não se confundir na prova).
  • Importante: o resultado n+1 vale porque as caixas são diferentes. Se as caixas fossem idênticas (indistinguíveis), o número de distribuições seria o número de pares não ordenados \{x_1,x_2\} com x_1+x_2=n, que é \left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor+1. Mas esse é outro problema; aqui as caixas são diferentes, por isso usamos n+1.
  • Dica prática para prova: sempre traduza para equações com contagens (tipo x_1+\cdots+x_k=n) quando os objetos são idênticos e as caixas são diferentes. Para k=2 basta raciocinar que x_1 pode variar de 0 a n, dando n+1 casos.

Resposta

n+1

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