De quantas maneiras podemos distribuir 6 laranjas (iguais) entre 2 pessoas?
Passo 1
O enunciado pede: “De quantas maneiras podemos distribuir 6 laranjas (iguais) entre 2 pessoas?”
Informações dadas e hipóteses que vou usar (sem te perguntar nada):
Informações dadas e hipóteses que vou usar (sem te perguntar nada):
- Há
laranjas idênticas (iguais entre si). - Há
pessoas distintas (por exemplo, Pessoa A e Pessoa B). - Uma distribuição é especificada pelo número de laranjas que cada pessoa recebe.
O objetivo é contar quantas distribuições possíveis existem sob essas condições.
Passo 2
Modelagem matemática simples: seja
o número de laranjas que a Pessoa A recebe e
o número que a Pessoa B recebe. Como todas as laranjas são distribuídas e não há laranja fracionária,
com
Isso significa que estamos contando o número de soluções inteiras não negativas da equação acima.
Passo 3
Método direto (enumeração): podemos listar todas as possibilidades juntando todos os pares
que somam
:
Contando os pares vemos que há
possibilidades. Esse é o raciocínio mais direto e confiável para poucos itens.
Passo 4
Método combinatório (estrelas e barras) — fórmula e explicação didática: para contar o número de soluções não negativas inteiras de
existe uma fórmula conhecida. Imagine
“estrelas” alinhadas representando objetos iguais e
“barras” que separam as parcelas para as
caixas (pessoas). O número de maneiras de colocar as
barras entre as
posições possíveis é
Aqui
é o número de objetos (aqui
) e
é o número de recipientes (aqui
). Substituindo:
Explicação curta do porquê: com
estrelas há
“gaps” possíveis onde a barra única pode ficar (antes da primeira estrela, entre estrelas, ou depois da última); escolher um desses gaps fixa a divisão.
Passo 5
Comentário útil para a prova (motivação e variação): sempre verifique se as pessoas são consideradas distintas. Se as pessoas fossem indistinguíveis (ou seja, só interessa quantas laranjas em cada grupo sem diferenciar as pessoas), então contaríamos partições não ordenadas de
em até
partes e obteríamos menos distribuições (no caso seriam
:
maneiras). Mas no enunciado padrão “entre 2 pessoas” entende-se pessoas distintas, portanto usamos o resultado anterior.