De quantas maneiras podemos distribuir 8 objetos distintos em 3 caixas distintas, podendo algumas caixas ficar vazias?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única resposta.
- Há
objetos distintos (cada um diferente dos outros). - Há
caixas distintas (cada caixa é identificável, por exemplo: caixa A, caixa B e caixa C). - É permitido que alguma(s) caixa(s) fiquem vazia(s).
- Pergunta: de quantas maneiras diferentes é possível distribuir os
objetos nas caixas, respeitando que objetos e caixas são distintos?
Passo 2
Entender o que significa “maneira de distribuir” aqui. Cada distribuição pode ser vista como uma escolha, para cada objeto, de qual das
caixas ele vai entrar. Como os objetos são distintos, escolher onde colocar o objeto 1 é uma decisão independente de onde colocar o objeto 2, e assim por diante.
Explicando a regra que vamos usar (princípio multiplicativo, passo a passo):
- Se uma ação tem
opções e outra, independente, tem opções, então as duas ações juntas têm opções. - Aqui temos
decisões independentes (uma por objeto). Para cada objeto há exatamente opções (caixa 1, caixa 2 ou caixa 3). - Portanto o número total de distribuições é o produto das opções de cada decisão.
Passo 3
Formalizando com notação: seja
o número de objetos e
o número de caixas. Cada distribuição corresponde a uma função que associa a cada objeto uma caixa; o número de tais funções é
.
No nosso caso:
-
(objetos), -
(caixas),
logo o número de distribuições é.
Aqui explico claramente o que significa cada símbolo:
-
é o número de opções por objeto (as caixas), -
é o número de decisões independentes (um para cada objeto), - a notação
indica multiplicar por si mesmo vezes (produto de fatores iguais a ).
Passo 4
Fazer uma verificação com um exemplo pequeno para fixar a ideia (aprendizado concreto):
- Se tivéssemos
objetos e caixas, pelo raciocínio cada objeto tem escolhas e o total seria distribuições. Isso bate com listar manualmente as 9 opções, o que confirma que o método está correto.
Passo 5
Calcular passo a passo a potência
sem pular etapas:
-
. -
. -
.
(Para não repetir a resposta final nesta etapa, deixo
expresso como
aqui; o valor numérico final vem somente na seção de resposta, conforme solicitado.)
Passo 6
Observação importante (quando o enunciado muda): se as caixas fossem idênticas (não identificáveis) ou se fosse exigido que nenhuma caixa ficasse vazia, o número de distribuições mudaria muito e seria necessário outro método (uso de partições, números de Stirling, contagem de funções sobrejetoras etc.). Aqui, porém, as caixas são distintas e vazias são permitidas, então o método usado acima é o mais simples e direto — é o da escolha independente para cada objeto.