De quantas maneiras podemos distribuir 8 objetos distintos em 3 caixas distintas, podendo algumas caixas ficar vazias?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única resposta.
  • 8 objetos distintos (cada um diferente dos outros).
  • 3 caixas distintas (cada caixa é identificável, por exemplo: caixa A, caixa B e caixa C).
  • É permitido que alguma(s) caixa(s) fiquem vazia(s).
  • Pergunta: de quantas maneiras diferentes é possível distribuir os 8 objetos nas 3 caixas, respeitando que objetos e caixas são distintos?

Passo 2

Entender o que significa “maneira de distribuir” aqui. Cada distribuição pode ser vista como uma escolha, para cada objeto, de qual das 3 caixas ele vai entrar. Como os objetos são distintos, escolher onde colocar o objeto 1 é uma decisão independente de onde colocar o objeto 2, e assim por diante.
Explicando a regra que vamos usar (princípio multiplicativo, passo a passo):
  • Se uma ação tem a opções e outra, independente, tem b opções, então as duas ações juntas têm a\times b opções.
  • Aqui temos 8 decisões independentes (uma por objeto). Para cada objeto há exatamente 3 opções (caixa 1, caixa 2 ou caixa 3).
  • Portanto o número total de distribuições é o produto das opções de cada decisão.

Passo 3

Formalizando com notação: seja n o número de objetos e m o número de caixas. Cada distribuição corresponde a uma função que associa a cada objeto uma caixa; o número de tais funções é m^n.
No nosso caso:
  • n=8 (objetos),
  • m=3 (caixas),
    logo o número de distribuições é 3^{8}.
Aqui explico claramente o que significa cada símbolo:
  • 3 é o número de opções por objeto (as caixas),
  • 8 é o número de decisões independentes (um para cada objeto),
  • a notação 3^{8} indica multiplicar 3 por si mesmo 8 vezes (produto de 8 fatores iguais a 3).

Passo 4

Fazer uma verificação com um exemplo pequeno para fixar a ideia (aprendizado concreto):
  • Se tivéssemos 2 objetos e 3 caixas, pelo raciocínio cada objeto tem 3 escolhas e o total seria 3\times 3 = 3^{2} = 9 distribuições. Isso bate com listar manualmente as 9 opções, o que confirma que o método está correto.

Passo 5

Calcular passo a passo a potência 3^{8} sem pular etapas:
  • 3^{2} = 9.
  • 3^{4} = (3^{2})^{2} = 9^{2} = 81.
  • 3^{8} = (3^{4})^{2} = 81^{2}.
(Para não repetir a resposta final nesta etapa, deixo 3^{8} expresso como 81^{2} aqui; o valor numérico final vem somente na seção de resposta, conforme solicitado.)

Passo 6

Observação importante (quando o enunciado muda): se as caixas fossem idênticas (não identificáveis) ou se fosse exigido que nenhuma caixa ficasse vazia, o número de distribuições mudaria muito e seria necessário outro método (uso de partições, números de Stirling, contagem de funções sobrejetoras etc.). Aqui, porém, as caixas são distintas e vazias são permitidas, então o método usado acima é o mais simples e direto — é o da escolha independente para cada objeto.

Resposta

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