De quantas maneiras podemos distribuir 8 objetos idênticos em 3 caixas distintas, de modo que nenhuma fique vazia?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \,8\, objetos idênticos.
  • \,3\, caixas distintas.
  • Nenhuma caixa pode ficar vazia.
O que é pedido:
  • Contar de quantas maneiras distintas podemos distribuir os \,8\, objetos nas \,3\, caixas, obedecendo a condição de que nenhuma caixa fique vazia.

Passo 2

Modelagem do problema com variáveis (isso deixa tudo claro matematicamente).
  • Seja x_1 o número de objetos na caixa 1, x_2 o número de objetos na caixa 2 e x_3 o número de objetos na caixa 3.
  • Cada x_i deve ser um inteiro positivo (porque nenhuma caixa pode ficar vazia), ou seja, x_i\ge 1 para i=1,2,3.
  • A soma deve ser a quantidade total de objetos:
x_1+x_2+x_3=8.
Agora o problema é contar o número de soluções inteiras positivas dessa equação.

Passo 3

Transformação para facilitar a contagem (tirar 1 de cada caixa para garantir positividade):
  • Defina y_i = x_i - 1 para i=1,2,3. Assim cada y_i é um inteiro não negativo, y_i\ge 0.
  • Substituindo na soma, obtemos
(y_1+1)+(y_2+1)+(y_3+1)=8,
ou seja
y_1+y_2+y_3=5.
Portanto, contar soluções positivas (x_1,x_2,x_3) é equivalente a contar soluções não negativas (y_1,y_2,y_3) da equação acima.

Passo 4

Explicação didática da fórmula padrão (a famosa ideia “stars and bars”):
  • Queremos contar o número de soluções inteiras não negativas da soma
y_1+y_2+y_3=5,
com y_i\ge 0.
  • Pense em \,5\, estrelas alinhadas: \star\star\star\star\star. Para dividir essas estrelas em \,3\, caixas distintas precisamos colocar \,2\, separadores (barras) entre as estrelas (ou nas extremidades) para formar três blocos (alguns blocos podem ter zero estrelas).
  • Visualmente, qualquer arranjo de \,5\, estrelas e \,2\, barras em sequência corresponde a uma solução distinta. O total de símbolos é 5+2=7, e basta escolher as posições das \,2\, barras entre essas 7 posições.
  • O número de maneiras de escolher as posições das barras é o número de combinações de 7 posições tomadas 2 a 2, isto é
\binom{7}{2}.
  • Em geral, para somar n estrelas em k caixas não-negativas, o número é \binom{n+k-1}{k-1}. Aqui n=5 e k=3.

Passo 5

Aplicação numérica e cálculo final:
  • Usando a fórmula com n=5 e k=3,
\text{nº de soluções}=\binom{5+3-1}{3-1}=\binom{7}{2}.ºçõ
  • Calcule \binom{7}{2}:
\binom{7}{2}=\frac{7\cdot6}{2\cdot1}=\frac{42}{2}=21.
Portanto há \,21\, distribuições possíveis.

Resposta

\,21\,

Exercícios relacionados