Quantas soluções inteiras positivas possui a equação
Passo 1
O enunciado pede quantas soluções inteiras positivas existem para a equação abaixo:
Informações dadas e o que se quer:
- As variáveis
são números inteiros positivos (ou seja, cada ). - Pergunta: contar o número de tuplas
que satisfazem a equação acima.
Passo 2
Transformação para um problema de contagem mais simples (ideia fundamental).
- Como cada
é positivo, faço a substituição
para
. Assim cada
é um inteiro não negativo (ou seja,
).
- Substituindo na equação original:
logo
Explicação curta: reduzir 1 em cada variável “gasta”
unidades do total
, sobrando
para distribuir sem restrição negativa. Agora o problema é contar soluções inteiras não negativas de
.
Passo 3
Contagem das soluções não negativas por argumento das “estrelas e barras” (explicação visual e intuitiva).
- Pense em ter
estrelas que representam unidades a distribuir: . - Queremos dividir essas estrelas em
grupos (um grupo para cada ). Para fazer a divisão colocamos barras entre as estrelas; por exemplo
representa
.
- Cada arranjo de
estrelas e barras (ordem importante entre estrelas e barras) corresponde a uma e somente uma solução . - Então o problema reduz-se a contar de quantas maneiras podemos colocar
barras em uma sequência de estrelas mais posições para as barras — isto é, escolher as posições das barras entre as posições disponíveis.
Passo 4
Fórmula combinatória e cálculo.
- O número de maneiras de escolher as posições de
barras entre posições é o coeficiente binomial
- Lembrando a definição de coeficiente binomial:
onde
é o fatorial de
(produto de todos os inteiros positivos até
).
- Calculo direto:
Passo 5
Pequena verificação por exemplo simples (para ganhar confiança no método).
- Se em vez de
tivéssemos e ainda variáveis positivas, a fórmula dá
- Listando rapidamente as soluções positivas de
: — são . Isso confirma a ideia.
Passo 6
Conclusão final: pelo método das estrelas e barras, o número de soluções inteiras positivas de
é