Quantas soluções inteiras positivas possui a equação
x_{1}+x_{2}+x_{3}=12 ?

Passo 1

O enunciado pede quantas soluções inteiras positivas existem para a equação abaixo:
x_{1}+x_{2}+x_{3}=12
Informações dadas e o que se quer:
  • As variáveis x_{1},x_{2},x_{3} são números inteiros positivos (ou seja, cada x_{i}\ge1).
  • Pergunta: contar o número de tuplas (x_{1},x_{2},x_{3}) que satisfazem a equação acima.

Passo 2

Transformação para um problema de contagem mais simples (ideia fundamental).
  • Como cada x_{i} é positivo, faço a substituição
y_{i}=x_{i}-1,
para i=1,2,3. Assim cada y_{i} é um inteiro não negativo (ou seja, y_{i}\ge0).
  • Substituindo na equação original:
(x_{1}-1)+(x_{2}-1)+(x_{3}-1)=12-3,
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y_{1}+y_{2}+y_{3}=9.
Explicação curta: reduzir 1 em cada variável “gasta” 3 unidades do total 12, sobrando 9 para distribuir sem restrição negativa. Agora o problema é contar soluções inteiras não negativas de \,y_{1}+y_{2}+y_{3}=9.

Passo 3

Contagem das soluções não negativas por argumento das “estrelas e barras” (explicação visual e intuitiva).
  • Pense em ter 9 estrelas que representam unidades a distribuir: \star\star\star\star\star\star\star\star\star.
  • Queremos dividir essas estrelas em 3 grupos (um grupo para cada y_{i}). Para fazer a divisão colocamos 2 barras entre as estrelas; por exemplo
\star\star\mid\star\star\star\mid\star\star\star
representa y_{1}=2,\;y_{2}=3,\;y_{3}=4.
  • Cada arranjo de 9 estrelas e 2 barras (ordem importante entre estrelas e barras) corresponde a uma e somente uma solução (y_{1},y_{2},y_{3}).
  • Então o problema reduz-se a contar de quantas maneiras podemos colocar 2 barras em uma sequência de 9 estrelas mais 2 posições para as barras — isto é, escolher as posições das 2 barras entre as 9+2=11 posições disponíveis.

Passo 4

Fórmula combinatória e cálculo.
  • O número de maneiras de escolher as posições de 2 barras entre 11 posições é o coeficiente binomial
\binom{11}{2}.
  • Lembrando a definição de coeficiente binomial:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! é o fatorial de n (produto de todos os inteiros positivos até n).
  • Calculo direto:
\binom{11}{2}=\frac{11\cdot10}{2\cdot1}=\frac{110}{2}=55.

Passo 5

Pequena verificação por exemplo simples (para ganhar confiança no método).
  • Se em vez de 12 tivéssemos 5 e ainda 3 variáveis positivas, a fórmula dá
\binom{5-1}{3-1}=\binom{4}{2}=6.
  • Listando rapidamente as soluções positivas de x_{1}+x_{2}+x_{3}=5: (1,1,3),(1,2,2),(1,3,1),(2,1,2),(2,2,1),(3,1,1) — são 6. Isso confirma a ideia.

Passo 6

Conclusão final: pelo método das estrelas e barras, o número de soluções inteiras positivas de \,x_{1}+x_{2}+x_{3}=12 é
\binom{11}{2}=55.

Resposta

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