Quantas soluções inteiras não negativas possui a equação
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=7 ?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantas soluções inteiras não negativas existem para a equação
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=7.
Informações dadas:
  • As incógnitas são x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.
  • Cada x_{i} deve ser um inteiro não negativo (ou seja, x_{i}\in\{0,1,2,\dots\}).
  • A soma das quatro variáveis é 7.
    A pergunta é: quantas tuplas (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) satisfazem essas condições?

Passo 2

Modelagem combinatória (intuição): pense em distribuir 7 unidades idênticas entre 4 caixas rotuladas (cada caixa i recebe x_{i} unidades). Representação “estrelas e barras”:
  • Coloca-se uma estrela \ast para cada unidade distribuída: são 7 estrelas.
  • Usa-se uma barra | para separar as caixas: para 4 caixas há 3 barras.
    Uma configuração válida é uma sequência de 7 estrelas e 3 barras; por exemplo,
\ast\ast\\ |\\ \ast\ast\ast\\ |\\ |\\ \ast\ast
representa x_{1}=2,\;x_{2}=3,\;x_{3}=0,\;x_{4}=2.
Portanto contar soluções equivale a contar o número de sequências formadas por 7 estrelas e 3 barras, ou seja, o número de maneiras de posicionar as 3 barras entre os 7+3=10 posições.

Passo 3

Formulação combinatória: escolher as posições das barras entre as 10 posições é uma escolha de 3 posições dentre 10. Assim o número de soluções é o coeficiente binomial
\binom{10}{3}.
Também existe uma formula geral: o número de soluções em inteiros não negativos de
\sum_{i=1}^{k} x_{i}=n
é
\binom{n+k-1}{k-1},
porque corresponde a posicionar k-1 barras entre n+k-1 símbolos (estrelas+barras).

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente binomial em forma de fração e simplificar (sem ainda multiplicar tudo):
\binom{10}{3}=\frac{10!}{3!\,7!}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}.
Agora simplificando fatores:
\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1} =\;10\cdot\frac{9}{3}\cdot\frac{8}{2} =\;10\cdot3\cdot4.

Passo 5

Um exemplo pequeno para fixar a ideia: se tivéssemos \;x_{1}+x_{2}=3\; (duas variáveis, soma 3), o número de soluções seria
\binom{3+2-1}{2-1}=\binom{4}{1}=4,
e as soluções são (0,3),(1,2),(2,1),(3,0). O mesmo raciocínio de estrelas e barras aplica-se ao nosso caso com 4 variáveis.

Passo 6

Resumo prático para a prova: sempre que pedir número de soluções inteiras não negativas de \sum_{i=1}^{k} x_{i}=n, use a fórmula \binom{n+k-1}{k-1}. Aqui n=7 e k=4, então o resultado é \binom{10}{3}, que simplifica para 10\cdot3\cdot4.

Resposta

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