Quantas soluções inteiras não negativas possui a equação
Passo 1
O enunciado pede: contar quantas soluções inteiras não negativas existem para a equação
Informações dadas:
- As incógnitas são
. - Cada
deve ser um inteiro não negativo (ou seja, ). - A soma das quatro variáveis é
.
A pergunta é: quantas tuplassatisfazem essas condições?
Passo 2
Modelagem combinatória (intuição): pense em distribuir
unidades idênticas entre
caixas rotuladas (cada caixa
recebe
unidades). Representação “estrelas e barras”:
- Coloca-se uma estrela
para cada unidade distribuída: são estrelas. - Usa-se uma barra
para separar as caixas: para caixas há barras.
Uma configuração válida é uma sequência deestrelas e barras; por exemplo,
representa
.
Portanto contar soluções equivale a contar o número de sequências formadas por estrelas e
barras, ou seja, o número de maneiras de posicionar as
barras entre os
posições.
Portanto contar soluções equivale a contar o número de sequências formadas por
Passo 3
Formulação combinatória: escolher as posições das barras entre as
posições é uma escolha de
posições dentre
. Assim o número de soluções é o coeficiente binomial
Também existe uma formula geral: o número de soluções em inteiros não negativos de
é
porque corresponde a posicionar
barras entre
símbolos (estrelas+barras).
Passo 4
Vamos calcular o coeficiente binomial em forma de fração e simplificar (sem ainda multiplicar tudo):
Agora simplificando fatores:
Passo 5
Um exemplo pequeno para fixar a ideia: se tivéssemos
(duas variáveis, soma
), o número de soluções seria
e as soluções são
. O mesmo raciocínio de estrelas e barras aplica-se ao nosso caso com
variáveis.
Passo 6
Resumo prático para a prova: sempre que pedir número de soluções inteiras não negativas de
, use a fórmula
. Aqui
e
, então o resultado é
, que simplifica para
.