De quantas maneiras podemos escolher três números distintos do conjunto
de modo que sua soma seja um múltiplo de 3?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir de quantas maneiras podemos escolher três números diferentes do conjunto $ I_{50} = {1, 2, 3, ···, 49, 50} $ de forma que a soma desses três números seja um múltiplo de 3. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinatória e aritmética modular, que nos ajudam a contar as combinações possíveis e a entender como os números se comportam em relação a divisões por 3.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir os números do conjunto $ I_{50} $ em três grupos com base no resto que eles deixam quando divididos por 3. Isso é importante porque a soma de três números será múltiplo de 3 apenas se a soma dos seus restos também for múltiplo de 3.
-
Números que deixam resto 0 quando divididos por 3 (Múltiplos de 3):
São números como 3, 6, 9, …, 48. O total deles é $ \frac{50}{3} $ arredondado para baixo, que dá 16 números. -
Números que deixam resto 1 quando divididos por 3:
São números como 1, 4, 7, …, 49. Também temos 17 números aqui. -
Números que deixam resto 2 quando divididos por 3:
São números como 2, 5, 8, …, 50. Aqui temos 17 números novamente.
Passo 3
Agora, para que a soma de três números seja múltiplo de 3, as combinações possíveis dos restos são:
- Três números com resto 0: A soma será $ 0 + 0 + 0 = 0 $, que é múltiplo de 3.
- Um número de cada resto (0, 1 e 2): A soma será $ 0 + 1 + 2 = 3 $, que também é múltiplo de 3.
- Três números com resto 1: A soma será $ 1 + 1 + 1 = 3 $, múltiplo de 3.
- Três números com resto 2: A soma será $ 2 + 2 + 2 = 6 $, múltiplo de 3.
Vamos calcular quantas combinações temos para cada caso.
Passo 4
1. Três números com resto 0:
Temos 16 números com resto 0. A quantidade de maneiras de escolher 3 desses é dada pela combinação:
Temos 16 números com resto 0. A quantidade de maneiras de escolher 3 desses é dada pela combinação:
2. Um número de cada resto (0, 1 e 2):
Temos 16 números com resto 0, 17 com resto 1 e 17 com resto 2. O número de combinações é:
Temos 16 números com resto 0, 17 com resto 1 e 17 com resto 2. O número de combinações é:
3. Três números com resto 1:
Temos 17 números com resto 1. A quantidade de maneiras de escolher 3 desses é:
Temos 17 números com resto 1. A quantidade de maneiras de escolher 3 desses é:
4. Três números com resto 2:
Temos 17 números com resto 2. A quantidade de maneiras de escolher 3 desses é:
Temos 17 números com resto 2. A quantidade de maneiras de escolher 3 desses é:
Passo 5
Agora, somamos todas as possibilidades para encontrar o total de combinações que atendem ao critério:
Resposta
Portanto, existem 6.544 maneiras de escolher três números distintos do conjunto $ I_{50} $ de modo que sua soma seja um múltiplo de 3.