De quantas maneiras podemos permutar 3 letras
letras
e 3 letras
de tal modo que 3 letras iguais nunca sejam adjacentes?
Passo 1
O enunciado pede para contar as permutações das 9 letras (3 de cada de
) de modo que nenhuma sequência de três letras iguais apareça junta. O conteúdo principal aqui é permutações com repetição e o uso do princípio da inclusão-exclusão para excluir as disposições que contenham
,
ou
como bloco.
Passo 2
Primeiro, sem nenhuma restrição, o número total de permutações das 9 letras é dado por
Passo 3
Agora, contamos quantas permutações contêm
como bloco. Para isso, tratamos essa sequência
como uma superletra única, mais as 3 letras
e as 3 letras
. No total temos
“objetos”, com repetição de 3
e 3
. Logo,
Por simetria,
e
.
Passo 4
Em seguida, consideramos as interseções. Por exemplo, para conter simultaneamente
e
como blocos, temos as superletras
,
e as 3 letras
, totalizando
objetos com repetição de 3
. Então
Igualmente
e
.
Passo 5
Finalmente, se todos os três blocos
,
e
aparecem simultaneamente, temos apenas 3 objetos (as três superletras), e
Passo 6
Pelo princípio da inclusão-exclusão, o número de permutações sem nenhuma sequência de três iguais é