Quantas permutações da palavra ALERGICO têm exatamente 3 letras em suas posições originais?

Passo 1

O enunciado pede o número de permutações da palavra “ALERGICO” (8 letras distintas) em que exatamente 3 letras permanecem em suas posições originais. Isso é um problema de permutações com pontos fixos e deranjos.

Passo 2

Para ter exatamente 3 letras fixas, primeiro escolhemos quais 3 posições serão mantidas. O número de maneiras de escolher 3 posições entre 8 é
\binom{8}{3}.

Passo 3

As 5 letras que restam não podem ficar em suas posições originais; elas devem formar um deranjo. O número de deranjos de 5 objetos é dado por
D(5)=5!\Bigl(1-\tfrac{1}{1!}+\tfrac{1}{2!}-\tfrac{1}{3!}+\tfrac{1}{4!}-\tfrac{1}{5!}\Bigr) =120\Bigl(1-1+\tfrac12-\tfrac16+\tfrac{1}{24}-\tfrac{1}{120}\Bigr) =44.

Passo 4

Multiplicando as escolhas das 3 posições fixas pelo número de deranjos das 5 restantes, obtemos
\binom{8}{3}\times D(5)=56\times44=2464.

Resposta

2464

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