De quantas maneiras é possível colocar um rei negro e um rei branco em casas não adjacentes de um tabuleiro de xadrez?
Passo 1
Vamos entender direitinho o que o enunciado pede e o que ele nos dá.
- Queremos contar de quantas maneiras é possível colocar um rei negro e um rei branco em um tabuleiro de xadrez
de forma que as casas ocupadas não sejam adjacentes. - “Casas adjacentes” significa que as duas casas compartilham um lado ou um vértice; em outras palavras, a distância de Chebyshev entre as casas é
. Assim, um rei ataca todas as casas que estejam imediatamente ao redor dele (máximo de casas). - Os reis são diferenciáveis pelas cores (um negro e um branco), então a ordem importa: colocar o rei branco em
e o negro em é diferente de colocar o branco em e o negro em . - Resumo do pedido: contar o número de disposições ordenadas de dois reis em casas distintas de um tabuleiro
tais que as duas casas não sejam adjacentes.
Passo 2
Calcular o número total de disposições ordenadas de dois reis sem restrição.
- Primeiro escolhe-se a casa para o rei branco: há
casas. - Depois escolhe-se a casa para o rei negro: deve ser diferente, então há
opções. - Logo o total de disposições ordenadas sem restrição é
Passo 3
Calcular quantas disposições ordenadas violam a condição (isto é, em que os reis ficam adjacentes). Vamos contar, para cada casa escolhida para o branco, quantas casas adjacentes existem onde o negro poderia ficar, e somar.
Precisamos saber quantas casas têm
,
ou
vizinhos (número de casas adjacentes):
- Cantos do tabuleiro: há
cantos. Cada canto tem casas adjacentes. - Lados (não cantos): em cada uma das 4 bordas existem
casas, mas tirando os 2 cantos restam por borda; portanto casas de borda não canto. Cada uma dessas tem casas adjacentes. - Casas internas (não na borda): o restante é
casas. Cada uma tem casas adjacentes.
Passo 4
Somar o número de pares ordenados em que os reis são adjacentes.
- Para cada uma das
casas de canto há escolhas para o negro, contribuindo . - Para cada uma das
casas de borda não canto há escolhas, contribuindo . - Para cada uma das
casas internas há escolhas, contribuindo .
Somando:
Esse total
já conta pares ordenados (rei branco em uma casa e rei negro em uma casa adjacente).
Passo 5
Subtrair os casos proibidos dos casos totais para obter os casos válidos (não adjacentes).
Portanto há
maneiras ordenadas de colocar um rei branco e um rei negro em casas não adjacentes.
Resposta
3612