De quantas maneiras é possível colocar um rei negro e um rei branco em casas não adjacentes de um tabuleiro de xadrez?

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado pede e o que ele nos dá.
  • Queremos contar de quantas maneiras é possível colocar um rei negro e um rei branco em um tabuleiro de xadrez 8\times8 de forma que as casas ocupadas não sejam adjacentes.
  • “Casas adjacentes” significa que as duas casas compartilham um lado ou um vértice; em outras palavras, a distância de Chebyshev entre as casas é 1. Assim, um rei ataca todas as casas que estejam imediatamente ao redor dele (máximo de 8 casas).
  • Os reis são diferenciáveis pelas cores (um negro e um branco), então a ordem importa: colocar o rei branco em A e o negro em B é diferente de colocar o branco em B e o negro em A.
  • Resumo do pedido: contar o número de disposições ordenadas de dois reis em casas distintas de um tabuleiro 8\times8 tais que as duas casas não sejam adjacentes.

Passo 2

Calcular o número total de disposições ordenadas de dois reis sem restrição.
  • Primeiro escolhe-se a casa para o rei branco: há 64 casas.
  • Depois escolhe-se a casa para o rei negro: deve ser diferente, então há 63 opções.
  • Logo o total de disposições ordenadas sem restrição é
64\cdot 63 = 4032.

Passo 3

Calcular quantas disposições ordenadas violam a condição (isto é, em que os reis ficam adjacentes). Vamos contar, para cada casa escolhida para o branco, quantas casas adjacentes existem onde o negro poderia ficar, e somar.
Precisamos saber quantas casas têm 3, 5 ou 8 vizinhos (número de casas adjacentes):
  • Cantos do tabuleiro: há 4 cantos. Cada canto tem 3 casas adjacentes.
  • Lados (não cantos): em cada uma das 4 bordas existem 8 casas, mas tirando os 2 cantos restam 6 por borda; portanto 4\cdot 6 = 24 casas de borda não canto. Cada uma dessas tem 5 casas adjacentes.
  • Casas internas (não na borda): o restante é 64 - 4 - 24 = 36 casas. Cada uma tem 8 casas adjacentes.

Passo 4

Somar o número de pares ordenados em que os reis são adjacentes.
  • Para cada uma das 4 casas de canto há 3 escolhas para o negro, contribuindo 4\cdot 3.
  • Para cada uma das 24 casas de borda não canto há 5 escolhas, contribuindo 24\cdot 5.
  • Para cada uma das 36 casas internas há 8 escolhas, contribuindo 36\cdot 8.
Somando:
4\cdot 3 + 24\cdot 5 + 36\cdot 8 = 12 + 120 + 288 = 420.
Esse total 420 já conta pares ordenados (rei branco em uma casa e rei negro em uma casa adjacente).

Passo 5

Subtrair os casos proibidos dos casos totais para obter os casos válidos (não adjacentes).
4032 - 420 = 3612.
Portanto há 3612 maneiras ordenadas de colocar um rei branco e um rei negro em casas não adjacentes.

Resposta

3612

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