Sejam A_{1}, \ldots, A_{n} conjuntos finitos disjuntos 2 a 2 . Prove que
\#\left(A_{1} \cup \cdots \cup A_{n}\right)=\#\left(A_{1}\right)+\cdots+\#\left(A_{n}\right)

Passo 1

O enunciado dá que A_{1},\ldots,A_{n} são conjuntos finitos e que são disjuntos dois a dois. Ou seja, para quaisquer índices i\neq j vale A_{i}\cap A_{j}=\varnothing. O que precisamos provar é a igualdade entre o número de elementos da união e a soma dos números de elementos de cada conjunto:
\#\!\left(A_{1}\cup\cdots\cup A_{n}\right)=\#\!(A_{1})+\cdots+\#\!(A_{n}).
Lista das informações relevantes que o enunciado fornece:
  • Cada A_{i} é finito, portanto existe um inteiro não negativo \#\!(A_{i}) que conta seus elementos.
  • Os conjuntos são disjuntos dois a dois: A_{i}\cap A_{j}=\varnothing para i\neq j.
    O objetivo é deduzir a fórmula acima usando essas informações.

Passo 2

Vou explicar alguns conceitos que vou usar (bem devagar, passo a passo).
  • Definição de finitude e cardinalidade: um conjunto A é finito quando existe um inteiro k\ge 0 e uma bijeção f\colon A\to\{1,\dots,k\}. O inteiro k é exatamente \#\!(A), o número de elementos de A.
  • Bijeção: uma função é bijetora quando é injetora (valores distintos têm imagens distintas) e sobrejetora (toda posição alvo é atingida). Se existe bijeção entre dois conjuntos, eles têm a mesma cardinalidade.
  • Disjunção (dois a dois): se A\cap B=\varnothing, então nenhum elemento pertence simultaneamente a A e a B; isso evita contagem dupla.
Essas noções permitem construir bijeções explícitas para contar elementos da união quando os conjuntos são disjuntos.

Passo 3

Estratégia do argumento: vou provar a afirmação por indução sobre n.
  • Caso base: verifico para n=1 (e também mostrarei detalhadamente n=2, que é a etapa crítica).
  • Passo indutivo: assumo a afirmação válida para n conjuntos e mostro para n+1 conjuntos, usando o caso n=2 aplicado à união dos primeiros n com o (n+1)-ésimo conjunto.
Essa escolha é natural porque a operação de união é associativa, e juntar n+1 conjuntos pode ser visto como primeiro juntar n deles e depois unir com o último.

Passo 4

Caso base n=1. É imediato: \#\!(A_{1})=\#\!(A_{1}). Portanto a propriedade é verdadeira para n=1.

Passo 5

Caso n=2. Este é o passo central: mostrar que, se A e B são conjuntos finitos e A\cap B=\varnothing, então
\#\!(A\cup B)=\#\!(A)+\#\!(B).
Detalho a prova construtiva.
  • Seja a=\#\!(A) e b=\#\!(B). Como A e B são finitos, existem bijeções
f\colon A\to\{1,\dots,a\} \qquad\text{e}\qquad g\colon B\to\{1,\dots,b\}.
  • Quero construir uma bijeção h de A\cup B para \{1,\dots,a+b\}. Como A e B são disjuntos, não há ambiguidade em distinguir um elemento que vem de A ou de B.
  • Defino h da seguinte forma: para x\in A ponho
h(x)=f(x)\in\{1,\dots,a\},
e para y\in B ponho
h(y)=a+g(y)\in\{a+1,\dots,a+b\}.
  • Verifico que h é bem definida: cada elemento de A\cup B pertence ou a A ou a B, e como A\cap B=\varnothing não há conflito sobre qual caso escolher.
  • Injetividade de h: suponha h(u)=h(v). Se u\in A e v\in A, então f(u)=f(v) e como f é injetora obtemos u=v. Se u\in B e v\in B, argumento análogo com g. Se um está em A e o outro em B, então h(u)\in\{1,\dots,a\} e h(v)\in\{a+1,\dots,a+b\}, conjuntos disjuntos, portanto não podem ser iguais. Logo h é injetora.
  • Sobrejetividade de h: todo t\in\{1,\dots,a+b\} é ou 1\le t\le a ou a+1\le t\le a+b. No primeiro caso existe x\in A com f(x)=t, logo h(x)=t. No segundo caso existe y\in B com g(y)=t-a, logo h(y)=a+g(y)=t. Assim h é sobrejetora.
  • Como h é bijeção, \#\!(A\cup B)=a+b=\#\!(A)+\#\!(B).
  • Exemplo concreto e rápido para intuir: se A=\{x_1,x_2\} e B=\{y_1,y_2,y_3\}, então uma contagem organizada é x_1,x_2,y_1,y_2,y_3 — são 2+3=5 elementos, sem duplicação porque A e B não se sobrepõem.

Passo 6

Passo indutivo: suponha a afirmação verdadeira para n conjuntos disjuntos dois a dois, isto é, supõe-se que
\#\!\left(A_{1}\cup\cdots\cup A_{n}\right)=\#\!(A_{1})+\cdots+\#\!(A_{n}).
Denote S_n=A_{1}\cup\cdots\cup A_{n}. Observações:
  • S_n é finito (união finita de conjuntos finitos).
  • Pelo enunciado, A_{n+1} é disjunto de cada A_{i} para i\le n, logo A_{n+1}\cap S_n=\varnothing.
    Aplicando o caso n=2 (Passo 5) aos conjuntos S_n e A_{n+1}, obtemos
\#\!(S_n\cup A_{n+1})=\#\!(S_n)+\#\!(A_{n+1}).
Mas S_n\cup A_{n+1}=A_{1}\cup\cdots\cup A_{n+1} e pela hipótese indutiva \#\!(S_n)=\#\!(A_{1})+\cdots+\#\!(A_{n}). Substituindo:
\#\!\left(A_{1}\cup\cdots\cup A_{n+1}\right) =\bigl(\#\!(A_{1})+\cdots+\#\!(A_{n})\bigr)+\#\!(A_{n+1}),
o que é exatamente a fórmula desejada para n+1.

Passo 7

Conclusão por indução: como a propriedade vale para n=1 e o passo indutivo foi estabelecido, segue que para todo n\ge 1 e para quaisquer conjuntos finitos A_{1},\dots,A_{n} que sejam disjuntos dois a dois,
\#\!\left(A_{1}\cup\cdots\cup A_{n}\right)=\#\!(A_{1})+\cdots+\#\!(A_{n}).
Pequeno comentário final de incentivo: a ideia chave é sempre a mesma — quando não há interseção entre conjuntos, não há risco de contar alguém duas vezes, então a união “soma” as contagens; provar isso rigorosamente passa por construir uma bijeção ou usar indução.

Resposta

\#\!\left(A_{1}\cup\cdots\cup A_{n}\right)=\#\!(A_{1})+\cdots+\#\!(A_{n})

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