Em cada item determine o volume dos sólidos obtidos ao rotacionar as regiões pela reta especificada. Deixe claro o método que utilizado.
(a) y=x^{4}, x=y^{4} pela reta y=1;

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar a região limitada pelas curvas
y = x^4
e
x = y^4
em torno da reta
y = 1.
O assunto aqui é volumes por revolução e vamos usar o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, determinamos onde as duas curvas se cruzam. Igualando
y = x^4 \quad\text{e}\quad x = y^4
substituímos y = x^4 em x = y^4, obtendo
x = \bigl(x^4\bigr)^4 = x^{16} \;\Longrightarrow\; x^{16} - x = 0 \;\Longrightarrow\; x(x^{15}-1)=0.
As soluções reais são x=0 e x=1. Assim, as interseções são (0,0) e (1,1). Para y entre 0 e 1, a abscissa menor da região é
x_{\rm esq}=y^4
e a maior é
x_{\rm dir}=y^{1/4}.

Passo 3

Usando cascas cilíndricas com fatias horizontais de espessura \,dy:
  • O raio da casca, isto é, a distância da fatia à reta y=1, é
R(y)=1-y.
  • A altura da casca é a largura da região em y:
H(y)=x_{\rm dir}-x_{\rm esq} = y^{1/4}-y^4.
Portanto o volume é
V = 2\pi \int_{y=0}^{1} R(y)\,H(y)\,dy = 2\pi \int_{0}^{1} \bigl(1-y\bigr)\bigl(y^{1/4}-y^4\bigr)\,dy.

Passo 4

Expandimos o integrando e integramos termo a termo:
(1-y)(y^{1/4}-y^4) = y^{1/4} - y^4 - y^{5/4} + y^5.
Logo
\int_{0}^{1}\bigl(y^{1/4} - y^4 - y^{5/4} + y^5\bigr)dy = \frac{4}{5} - \frac{1}{5} - \frac{4}{9} + \frac{1}{6} = \frac{29}{90}.
Multiplicando por 2\pi,
V = 2\pi \cdot \frac{29}{90} = \frac{29\pi}{45}.

Resposta

V = \frac{29\pi}{45}.

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