Em cada item determine o volume dos sólidos obtidos ao rotacionar as regiões pela reta especificada. Deixe claro o método que utilizado.
(a)
pela reta
;
(a)
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar a região limitada pelas curvas
e
em torno da reta
O assunto aqui é volumes por revolução e vamos usar o método das cascas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, determinamos onde as duas curvas se cruzam. Igualando
substituímos
em
, obtendo
As soluções reais são
e
. Assim, as interseções são
e
. Para
entre
e
, a abscissa menor da região é
e a maior é
Passo 3
Usando cascas cilíndricas com fatias horizontais de espessura
:
- O raio da casca, isto é, a distância da fatia à reta
, é
- A altura da casca é a largura da região em
:
Portanto o volume é
Passo 4
Expandimos o integrando e integramos termo a termo:
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Multiplicando por
,