(a) Mostre que se A tem uma linha de zeros e B é uma matriz qualquer para a qual o produto A B está definido, então A B também tem uma linha de zeros.
(b) Encontre um resultado análogo para uma coluna de zeros.

Passo 1

O enunciado nos pede duas coisas. Primeiro, provar que se A é uma matriz mtimes n que tem a sua linha i toda zero e B é uma matriz ntimes p, então o produto AB também terá a linha i toda zero. Depois, achar o análogo quando quem tem zeros é uma coluna.

Passo 2

Lembrando a definição de produto de matrizes: se A é mtimes n e B é ntimes p, então AB é mtimes p e
(AB)ij ;=; sumk=1^n Aik,Bkj
Esse somatório combina a linha i de A com a coluna j de B.

Passo 3

Para (a), suponha que a linha i de A seja toda zero, ou seja,
Aik=0 para todo k=1,2,dots,n
Então, em cada coluna j de AB,
(AB)ij =sumk=1^n Aik,Bkj =sumk=1^n 0cdot Bkj =0
Logo, a linha i de AB é toda zero.

Passo 4

Para (b), queremos o análogo para coluna. Note que a mesma fórmula vale: se agora a coluna j de B é toda zero, ou seja,
Bkj=0 para todo k=1,2,dots,n,
então para cada linha i de AB temos
(AB)ij =sumk=1^n Aik,Bkj =sumk=1^n Aikcdot 0 =0
Isso mostra que a coluna j de AB também é toda zero.

Resposta

(a) Se A tem a linha i toda zero e B é compatível, então AB tem a linha i toda zero.
(b) Se B tem a coluna j toda zero e A é compatível, então AB tem a coluna j toda zero.

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