(a) Mostre que se
tem uma linha de zeros e
é uma matriz qualquer para a qual o produto
está definido, então
também tem uma linha de zeros.
(b) Encontre um resultado análogo para uma coluna de zeros.
(b) Encontre um resultado análogo para uma coluna de zeros.
Passo 1
O enunciado nos pede duas coisas. Primeiro, provar que se
é uma matriz
que tem a sua linha
toda zero e
é uma matriz
, então o produto
também terá a linha
toda zero. Depois, achar o análogo quando quem tem zeros é uma coluna.
Passo 2
Lembrando a definição de produto de matrizes: se
é
e
é
, então
é
e
Esse somatório combina a linha
de
com a coluna
de
.
Passo 3
Para (a), suponha que a linha
de
seja toda zero, ou seja,
Então, em cada coluna
de
,
Logo, a linha
de
é toda zero.
Passo 4
Para (b), queremos o análogo para coluna. Note que a mesma fórmula vale: se agora a coluna
de
é toda zero, ou seja,
então para cada linha
de
temos
Isso mostra que a coluna
de
também é toda zero.
Resposta
(a) Se
tem a linha
toda zero e
é compatível, então
tem a linha
toda zero.
(b) Se
tem a coluna
toda zero e
é compatível, então
tem a coluna
toda zero.