Quantas palavras binárias de comprimento 10 começam e terminam com 1?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantas palavras binárias de comprimento \,10\, começam e terminam com \,1.\n
Informações dadas:
  • O alfabeto binário é \{0,1\}.\n
  • O comprimento da palavra é \,10\,.\n
  • O primeiro símbolo (posição 1) é fixo em \,1\,.\n
  • O último símbolo (posição 10) é fixo em \,1\,.\n
    Pergunta: quantas sequências (palavras) diferentes satisfazem essas condições?

Passo 2

Entendendo os graus de liberdade: como as posições 1 e 10 estão fixas em \,1\,, restam as posições 2,3,\dots,9 que podem ser escolhidas livremente. O número de posições livres é
10-2=8.

Passo 3

Princípio multiplicativo (regra do produto): se há \,k\, posições independentes e cada posição tem \,m\, escolhas possíveis, o total de palavras é \,m^k.\n
Aqui cada posição livre pode ser \,0\, ou \,1\, (duas escolhas), e há \,8\, posições livres. Portanto o número total de palavras é
2^{8}.

Passo 4

Cálculo de \,2^{8}: podemos calcular passo a passo
2^{1}=2,\quad 2^{2}=4,\quad 2^{3}=8,\quad 2^{4}=16,
2^{5}=32,\quad 2^{6}=64,\quad 2^{7}=128,\quad 2^{8}=256.
Como verificação rápida: exemplos de palavras válidas são \,1\,0\,0\,0\,0\,0\,0\,0\,1\, e \,1\,1\,1\,1\,1\,1\,1\,1\,1\,.

Resposta

256

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