Quantas permutações de \{1,2,3,4,5,6,7\} possuem exatamente um ponto fixo?

Passo 1

O enunciado pede: determinar quantas permutações de \{1,2,3,4,5,6,7\} possuem exatamente um ponto fixo.
Informações relevantes dadas:
  • O conjunto tem 7 elementos, isto é, estamos considerando todas as permutações de \{1,2,3,4,5,6,7\}.
  • Um ponto fixo numa permutação é um elemento i tal que a permutação envia i para i (ou seja, i permanece na mesma posição).
  • Devemos contar permutações com exatamente um elemento fixo e os outros 6 elementos não podem ser pontos fixos.

Passo 2

Estratégia básica (explicada didaticamente): para ter exatamente um ponto fixo, primeiro escolhemos qual elemento será o ponto fixo; depois, os demais elementos não podem fixar-se (devem formar uma permutação sem pontos fixos, chamada derangement).
Explicando os conceitos usados:
  • Princípio multiplicativo: se uma escolha pode ser feita de a maneiras e, para cada escolha, outra independente pode ser feita de b maneiras, então as duas escolhas juntas podem ser feitas de a\cdot b maneiras.
  • Derangement de n elementos: é uma permutação sem pontos fixos; vamos denotá-lo por !n (lê-se "subfatorial de n" ou "derangement de n").
Aplicação ao problema:
  • Escolhas do ponto fixo: há 7 escolhas (qual dos 7 elementos fica fixo).
  • Para cada escolha, os outros 6 elementos devem formar um derangement; ou seja, para cada escolha do fixo restam !6 permutações possíveis dos restantes.
Portanto o número procurado é
7 \times !6.

Passo 3

Agora vamos calcular !6 (número de derangements de 6 elementos) de forma detalhada, usando o princípio da inclusão-exclusão — vou explicar cada passo.
Princípio da inclusão-exclusão para derangements:
  • O total de permutações de 6 objetos é 6!.
  • Subtrai-se o número de permutações que fixam pelo menos um elemento; porém ao subtrair esses conjuntos somamos de novo as interseções, então a inclusão-exclusão dá a fórmula
!6 = \sum_{k=0}^{6} (-1)^k \binom{6}{k} (6-k)!.
Aqui \binom{6}{k} escolhe quais k elementos ficam fixos, e (6-k)! conta as permutações dos restantes, e o sinal alternado vem da inclusão-exclusão.
Calculemos termo a termo:
  • Para k=0: \binom{6}{0}(6-0)! = 1\cdot 6! = 720.
  • Para k=1: \binom{6}{1}(6-1)! = 6\cdot 5! = 6\cdot 120 = 720.
  • Para k=2: \binom{6}{2}(6-2)! = 15\cdot 4! = 15\cdot 24 = 360.
  • Para k=3: \binom{6}{3}(6-3)! = 20\cdot 3! = 20\cdot 6 = 120.
  • Para k=4: \binom{6}{4}(6-4)! = 15\cdot 2! = 15\cdot 2 = 30.
  • Para k=5: \binom{6}{5}(6-5)! = 6\cdot 1! = 6\cdot 1 = 6.
  • Para k=6: \binom{6}{6}(6-6)! = 1\cdot 0! = 1\cdot 1 = 1.
Agora aplicamos os sinais alternados e somamos:
!6 = 720 - 720 + 360 - 120 + 30 - 6 + 1.
Façao as somas passo a passo:
720-720 = 0,
0+360 = 360,
360-120 = 240,
240+30 = 270,
270-6 = 264,
264+1 = 265.
Logo !6 = 265.
Observação rápida (checagem): a fórmula aproximada !n \approx \dfrac{n!}{e} \dfrac{720}{e}\approx 264{,}9, consistente com 265.

Passo 4

Voltando ao problema: multiplicamos o número de escolhas do ponto fixo pelo número de derangements dos outros 6 elementos:
\text{número total} = 7 \times !6 = 7 \times 265 = 1855.ú

Resposta

1855

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