Quantas permutações de
possuem exatamente um ponto fixo?
Passo 1
O enunciado pede: determinar quantas permutações de
possuem exatamente um ponto fixo.
Informações relevantes dadas:
- O conjunto tem
elementos, isto é, estamos considerando todas as permutações de . - Um ponto fixo numa permutação é um elemento
tal que a permutação envia para (ou seja, permanece na mesma posição). - Devemos contar permutações com exatamente um elemento fixo e os outros
elementos não podem ser pontos fixos.
Passo 2
Estratégia básica (explicada didaticamente): para ter exatamente um ponto fixo, primeiro escolhemos qual elemento será o ponto fixo; depois, os demais elementos não podem fixar-se (devem formar uma permutação sem pontos fixos, chamada derangement).
Explicando os conceitos usados:
- Princípio multiplicativo: se uma escolha pode ser feita de
maneiras e, para cada escolha, outra independente pode ser feita de maneiras, então as duas escolhas juntas podem ser feitas de maneiras. - Derangement de
elementos: é uma permutação sem pontos fixos; vamos denotá-lo por (lê-se "subfatorial de " ou "derangement de ").
Aplicação ao problema:
- Escolhas do ponto fixo: há
escolhas (qual dos elementos fica fixo). - Para cada escolha, os outros
elementos devem formar um derangement; ou seja, para cada escolha do fixo restam permutações possíveis dos restantes.
Portanto o número procurado é
Passo 3
Agora vamos calcular
(número de derangements de
elementos) de forma detalhada, usando o princípio da inclusão-exclusão — vou explicar cada passo.
Princípio da inclusão-exclusão para derangements:
- O total de permutações de
objetos é . - Subtrai-se o número de permutações que fixam pelo menos um elemento; porém ao subtrair esses conjuntos somamos de novo as interseções, então a inclusão-exclusão dá a fórmula
Aqui
escolhe quais
elementos ficam fixos, e
conta as permutações dos restantes, e o sinal alternado vem da inclusão-exclusão.
Calculemos termo a termo:
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
Agora aplicamos os sinais alternados e somamos:
Façao as somas passo a passo:
Logo
.
Observação rápida (checagem): a fórmula aproximada
dá
, consistente com
.
Passo 4
Voltando ao problema: multiplicamos o número de escolhas do ponto fixo pelo número de derangements dos outros
elementos: