Quantas são as palavras binárias de comprimento 10 que contêm:
Exatamente quatro algarismos 1.
Exatamente quatro algarismos 1.
Passo 1
O enunciado pede: contar quantas palavras binárias de comprimento
têm exatamente
algarismos
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Comprimento da palavra:
(ou seja, há posições indexadas de a ). - Número de uns exigidos:
. - Consequentemente, o número de zeros em cada palavra será
.
Passo 2
Ideia principal (explicada devagarinho): uma palavra binária de comprimento
é completamente determinada por quais posições entre as
contêm o símbolo
. Portanto, contar palavras com exatamente
uns equivale a contar de quantas maneiras posso escolher
posições distintas dentre as
disponíveis. Quando só importa o conjunto de posições escolhidas (não a ordem em que as escolho), estamos diante de um problema de combinações.
Passo 3
Definição e fórmula de combinação: o número de maneiras de escolher
objetos distintos a partir de
sem considerar ordem é o coeficiente binomial
onde
(lê‑se “n fatorial”) é
Aqui aplicamos com
e
, pois escolhemos
posições entre
:
Passo 4
Cálculo sem calcular
inteiro: escrevemos apenas os fatores necessários e simplificamos:
Agora simplifica passo a passo:
-
dividido por dá . -
dividido por dá . -
dividido por dá .
Ficamos com
Calculando:
Passo 5
Verificação alternativa curta: escolher as
posições dos zeros daria
, e é um fato que
, então confirmamos que o resultado é coerente.
Passo 6
Interpretação final em palavras amigas: existem
palavras binárias de comprimento
que têm exatamente
uns. Imaginar escolher 4 lugares para colocar os
s entre 10 posições é a maneira mais direta de visualizar isso na prova.