Quantas são as palavras binárias de comprimento 10 que contêm:
Exatamente quatro algarismos 1.

Passo 1

O enunciado pede: contar quantas palavras binárias de comprimento 10 têm exatamente 4 algarismos 1.
Informações dadas:
  • Comprimento da palavra: 10 (ou seja, há 10 posições indexadas de 1 a 10).
  • Número de uns exigidos: 4.
  • Consequentemente, o número de zeros em cada palavra será 10-4=6.

Passo 2

Ideia principal (explicada devagarinho): uma palavra binária de comprimento 10 é completamente determinada por quais posições entre as 10 contêm o símbolo 1. Portanto, contar palavras com exatamente 4 uns equivale a contar de quantas maneiras posso escolher 4 posições distintas dentre as 10 disponíveis. Quando só importa o conjunto de posições escolhidas (não a ordem em que as escolho), estamos diante de um problema de combinações.

Passo 3

Definição e fórmula de combinação: o número de maneiras de escolher k objetos distintos a partir de n sem considerar ordem é o coeficiente binomial
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê‑se “n fatorial”) é
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1.
Aqui aplicamos com n=10 e k=4, pois escolhemos 4 posições entre 10:
\binom{10}{4} = \frac{10!}{4!\,6!}.

Passo 4

Cálculo sem calcular 10! inteiro: escrevemos apenas os fatores necessários e simplificamos:
\binom{10}{4}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6!}{4!\,6!}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Agora simplifica passo a passo:
  • 8 dividido por 4 2.
  • 9 dividido por 3 3.
  • 10 dividido por 2 5.
    Ficamos com
\frac{5\cdot3\cdot2\cdot7}{1}=5\cdot3\cdot2\cdot7.
Calculando:
5\cdot3=15,\quad 15\cdot2=30,\quad 30\cdot7=210.

Passo 5

Verificação alternativa curta: escolher as 6 posições dos zeros daria \binom{10}{6}, e é um fato que \binom{10}{6}=\binom{10}{4}, então confirmamos que o resultado é coerente.

Passo 6

Interpretação final em palavras amigas: existem 210 palavras binárias de comprimento 10 que têm exatamente 4 uns. Imaginar escolher 4 lugares para colocar os 1s entre 10 posições é a maneira mais direta de visualizar isso na prova.

Resposta

210

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