Quantas são as palavras binárias de comprimento 10 que contêm:
No máximo quatro algarismos 1 .

Passo 1

O enunciado pede: contar quantas palavras binárias de comprimento 10 (cada posição vale 0 ou 1) têm, no máximo, quatro algarismos 1. Informações relevantes que o enunciado dá:
  • O comprimento da palavra é 10 (ou seja, há 10 posições).
  • Cada posição pode ser 0 ou 1.
  • "No máximo quatro algarismos 1" significa que a palavra pode ter 0, 1, 2, 3 ou 4 uns.
    As perguntas a responder: quantas palavras binárias de comprimento 10 satisfazem essa condição?

Passo 2

Ideia de contagem (explicação do raciocínio): para construir uma palavra binária de comprimento 10 com exatamente k uns, basta escolher quais k das 10 posições receberão o valor 1; as outras posições ficam 0. O número de maneiras de escolher k posições dentre 10 é o coeficiente binomial \binom{10}{k}. Então, o número de palavras com "no máximo quatro 1" é a soma dos números de palavras com exatamente k uns, para k=0,1,2,3,4:
\text{total}=\sum_{k=0}^{4}\binom{10}{k}.
Agora vamos definir e calcular cada termo dessa soma.

Passo 3

Definição e fórmula do coeficiente binomial (aula rápida): o coeficiente binomial \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher k objetos dentre n sem ordem. A fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é o produto n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1. Podemos usar essa fórmula ou simplificá-la para calcular \binom{10}{k} de forma prática, evitando multiplicações grandes, cancelando fatores antes de multiplicar.

Passo 4

Cálculo de cada \binom{10}{k} para k=0,1,2,3,4, com passo a passo e simplificações.
  • Para k=0:
\binom{10}{0}=1
(Escolher zero posições é só uma possibilidade: todas zeros.)
  • Para k=1:
\binom{10}{1}=10
(Escolher uma posição dentre dez.)
  • Para k=2: usar fórmula reduzida
\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2\cdot1}.
Simplificando: \dfrac{10}{2}=5, então 5\cdot9=45. Logo
\binom{10}{2}=45.
  • Para k=3:
\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}.
Podemos simplificar passo a passo: \dfrac{9}{3}=3 e \dfrac{8}{2}=4. Então 10\cdot3\cdot4=120. Logo
\binom{10}{3}=120.
  • Para k=4:
\binom{10}{4}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Simplificação útil: \dfrac{10}{2}=5, \dfrac{9}{3}=3, \dfrac{8}{4}=2. Então 5\cdot3\cdot2\cdot7=210. Logo
\binom{10}{4}=210.

Passo 5

Somar os valores obtidos para k=0 a 4:
\sum_{k=0}^{4}\binom{10}{k}=\binom{10}{0}+\binom{10}{1}+\binom{10}{2}+\binom{10}{3}+\binom{10}{4}.
Substituindo os números:
1+10+45+120+210.
Fazendo as somas parciais: 1+10=11, 11+45=56, 56+120=176, 176+210=386. Portanto a soma vale 386.

Passo 6

Verificação alternativa (truque útil para prova): pelo teorema do binômio, \sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}=2^{10}=1024. Além disso, \binom{10}{k}=\binom{10}{10-k}, então a soma dos termos simetricamente opostos é igual. Seja S=\sum_{k=0}^{4}\binom{10}{k}. Então
2S+\binom{10}{5}=1024.
Como \binom{10}{5}=\dfrac{10!}{5!5!}=252, temos
2S=1024-252=772\quad\Rightarrow\quad S=\frac{772}{2}=386,
confirmando o resultado anterior. Esse método é mais curto em prova, porque evita calcular todos os termos se souber \binom{10}{5}.

Passo 7

Conclusão final e incentivo: o número de palavras binárias de comprimento 10 com no máximo quatro algarismos 1 é 386. Ótimo trabalho de acompanhar passo a passo — você já sabe duas maneiras de resolver esse tipo de questão, inclusive um truque simpático de simetria que ajuda na prova!

Resposta

386

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