Quantas são as palavras binárias de comprimento 10 que contêm:
No máximo quatro algarismos 1 .
No máximo quatro algarismos 1 .
Passo 1
O enunciado pede: contar quantas palavras binárias de comprimento
(cada posição vale
ou
) têm, no máximo, quatro algarismos
. Informações relevantes que o enunciado dá:
- O comprimento da palavra é
(ou seja, há posições). - Cada posição pode ser
ou . - "No máximo quatro algarismos
" significa que a palavra pode ter , , , ou uns.
As perguntas a responder: quantas palavras binárias de comprimentosatisfazem essa condição?
Passo 2
Ideia de contagem (explicação do raciocínio): para construir uma palavra binária de comprimento
com exatamente
uns, basta escolher quais
das
posições receberão o valor
; as outras posições ficam
. O número de maneiras de escolher
posições dentre
é o coeficiente binomial
. Então, o número de palavras com "no máximo quatro
" é a soma dos números de palavras com exatamente
uns, para
:
Agora vamos definir e calcular cada termo dessa soma.
Passo 3
Definição e fórmula do coeficiente binomial (aula rápida): o coeficiente binomial
é o número de maneiras de escolher
objetos dentre
sem ordem. A fórmula é
onde
(fatorial de
) é o produto
. Podemos usar essa fórmula ou simplificá-la para calcular
de forma prática, evitando multiplicações grandes, cancelando fatores antes de multiplicar.
Passo 4
Cálculo de cada
para
, com passo a passo e simplificações.
- Para
:
(Escolher zero posições é só uma possibilidade: todas zeros.)
- Para
:
(Escolher uma posição dentre dez.)
- Para
: usar fórmula reduzida
Simplificando:
, então
. Logo
- Para
:
Podemos simplificar passo a passo:
e
. Então
. Logo
- Para
:
Simplificação útil:
,
,
. Então
. Logo
Passo 5
Somar os valores obtidos para
a
:
Substituindo os números:
Fazendo as somas parciais:
,
,
,
. Portanto a soma vale
.
Passo 6
Verificação alternativa (truque útil para prova): pelo teorema do binômio,
. Além disso,
, então a soma dos termos simetricamente opostos é igual. Seja
. Então
Como
, temos
confirmando o resultado anterior. Esse método é mais curto em prova, porque evita calcular todos os termos se souber
.
Passo 7
Conclusão final e incentivo: o número de palavras binárias de comprimento
com no máximo quatro algarismos
é
. Ótimo trabalho de acompanhar passo a passo — você já sabe duas maneiras de resolver esse tipo de questão, inclusive um truque simpático de simetria que ajuda na prova!