Quantos são os números naturais de 7 dígitos nos quais o dígito 4 figura pelo menos 3 vezes e o dígito 8 figura pelo menos 2 vezes?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantos números naturais de 7 dígitos (ou seja, sequências de 7 algarismos com o primeiro algarismo diferente de zero) satisfazem duas condições simultâneas:
  • o dígito 4 aparece pelo menos 3 vezes;
  • o dígito 8 aparece pelo menos 2 vezes.
Informações relevantes que temos:
  • Cada número tem exatamente 7 posições (dígitos) numeradas de 1 a 7, onde a posição 1 (o primeiro dígito à esquerda) não pode ser 0.
  • Além dos dígitos 4 e 8, os outros dígitos permitidos são 0,1,2,3,5,6,7,9 (no total 8 dígitos diferentes).
  • Devemos contar todas as sequências de 7 dígitos que obedeçam às duas restrições simultaneamente.

Passo 2

Escolha do método: é natural contar por casos segundo quantas vezes aparecem exatamente os dígitos 4 e 8.
Defina:
\;k= número de ocorrências do dígito 4 (temos \,k\ge3),
\;m= número de ocorrências do dígito 8 (temos \,m\ge2),
\;r=7-k-m = número de posições restantes a preencher com outros dígitos (logo r\ge0).
Vamos somar o número de sequências válidas para cada par (k,m) com k\ge3,\\ m\ge2,\\ k+m\le7. Para cada par contaremos de forma cuidadosa para respeitar a condição “primeiro dígito diferente de zero” (remoção das sequências com primeiro dígito igual a zero).

Passo 3

Contagem para um par fixo (k,m) (sem ainda forçar primeiro dígito \neq0):
  • Escolher quais k das 7 posições vão conter o dígito 4: \binom{7}{k} maneiras.
  • Das restantes 7-k posições escolher m para conter o dígito 8: \binom{7-k}{m} maneiras.
  • As restantes r=7-k-m posições podem ser preenchidas por qualquer um dos 8 dígitos \{0,1,2,3,5,6,7,9\}, então 8^{r} possibilidades.
Portanto, o número total (permitindo que o primeiro dígito seja zero) é
N_{\text{total}}(k,m)=\binom{7}{k}\binom{7-k}{m}\,8^{r}.
Agora corrigir por aqueles com primeiro dígito igual a zero (esses não são números de 7 dígitos válidos). Uma sequência com primeiro dígito zero só é possível se a posição 1 estiver entre as r posições “outros dígitos”. Para contar esses casos:
  • Fixar posição 1 como 0.
  • Nas outras 6 posições escolher k para o 4: \binom{6}{k} maneiras.
  • Das restantes 6-k escolher m para o 8: \binom{6-k}{m} maneiras.
  • As demais r-1 posições (já que uma das r era a posição 1) são preenchidas por 8 opções cada: 8^{r-1}.
Assim, quando r\ge1,
N_{\text{bad}}(k,m)=\binom{6}{k}\binom{6-k}{m}\,8^{\,r-1}.
Se r=0 (isto é, k+m=7), então N_{\text{bad}}(k,m)=0 porque não há posição livre para colocar o zero no primeiro lugar.
O número válido para o par (k,m) é
N_{\text{valid}}(k,m)=N_{\text{total}}(k,m)-N_{\text{bad}}(k,m).

Passo 4

Determinar os intervalos possíveis de k e m. Como k\ge3,\\ m\ge2 e k+m\le7, obtém-se:
  • k=3: m=2,3,4.
  • k=4: m=2,3.
  • k=5: m=2.
    (Não há k\ge6 porque então m\ge2 violaria k+m\le7.)
Agora vamos calcular cada caso explicitando os coeficientes e potências.

Passo 5

Casos com k=3.
  1. k=3,\\ m=2\Rightarrow r=7-3-2=2.
\binom{7}{3}=35,\quad \binom{4}{2}=6,\quad 8^{r}=8^{2}=64.
N_{\text{total}}=35\cdot 6\cdot 64=210\cdot 64=13440.
Como r\ge1,
\binom{6}{3}=20,\quad \binom{3}{2}=3,\quad 8^{r-1}=8^{1}=8,
N_{\text{bad}}=20\cdot 3\cdot 8=60\cdot 8=480.
N_{\text{valid}}=13440-480=12960.
  1. k=3,\\ m=3\Rightarrow r=1.
\binom{7}{3}=35,\quad \binom{4}{3}=4,\quad 8^{1}=8,
N_{\text{total}}=35\cdot 4\cdot 8=140\cdot 8=1120.
Como r\ge1,
\binom{6}{3}=20,\quad \binom{3}{3}=1,\quad 8^{0}=1,
N_{\text{bad}}=20\cdot 1\cdot 1=20.
N_{\text{valid}}=1120-20=1100.
  1. k=3,\\ m=4\Rightarrow r=0.
\binom{7}{3}=35,\quad \binom{4}{4}=1,\quad 8^{0}=1,
N_{\text{total}}=35\cdot 1\cdot 1=35.
Aqui r=0\Rightarrow N_{\text{bad}}=0.
N_{\text{valid}}=35.
Soma para k=3: 12960+1100+35=14095.

Passo 6

Casos com k=4.
  1. k=4,\\ m=2\Rightarrow r=1.
\binom{7}{4}=35,\quad \binom{3}{2}=3,\quad 8^{1}=8,
N_{\text{total}}=35\cdot 3\cdot 8=105\cdot 8=840.
Como r\ge1,
\binom{6}{4}=15,\quad \binom{2}{2}=1,\quad 8^{0}=1,
N_{\text{bad}}=15\cdot 1\cdot 1=15.
N_{\text{valid}}=840-15=825.
  1. k=4,\\ m=3\Rightarrow r=0.
\binom{7}{4}=35,\quad \binom{3}{3}=1,\quad 8^{0}=1,
N_{\text{total}}=35\cdot 1\cdot 1=35,\quad N_{\text{bad}}=0,
N_{\text{valid}}=35.
Soma para k=4: 825+35=860.

Passo 7

Caso com k=5.
k=5,\\ m=2\Rightarrow r=0.
\binom{7}{5}=21,\quad \binom{2}{2}=1,\quad 8^{0}=1,
N_{\text{total}}=21\cdot 1\cdot 1=21,\quad N_{\text{bad}}=0,
N_{\text{valid}}=21.

Passo 8

Somar todos os casos válidos:
14095\\ (\text{para }k=3)+860\\ (\text{para }k=4)+21\\ (\text{para }k=5)=14976.
Ficou tudo contado sem conter números que começam com zero, porque subtraímos explicitamente os casos com primeiro dígito zero quando existiam.

Resposta

14976

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