Quantos são os números naturais de 7 dígitos nos quais o dígito 4 figura pelo menos 3 vezes e o dígito 8 figura pelo menos 2 vezes?
Passo 1
O enunciado pede: contar quantos números naturais de 7 dígitos (ou seja, sequências de 7 algarismos com o primeiro algarismo diferente de zero) satisfazem duas condições simultâneas:
- o dígito
aparece pelo menos vezes; - o dígito
aparece pelo menos vezes.
Informações relevantes que temos:
- Cada número tem exatamente
posições (dígitos) numeradas de a , onde a posição (o primeiro dígito à esquerda) não pode ser . - Além dos dígitos
e , os outros dígitos permitidos são (no total dígitos diferentes). - Devemos contar todas as sequências de 7 dígitos que obedeçam às duas restrições simultaneamente.
Passo 2
Escolha do método: é natural contar por casos segundo quantas vezes aparecem exatamente os dígitos
e
.
Defina:
número de ocorrências do dígito
(temos
),
número de ocorrências do dígito
(temos
),
= número de posições restantes a preencher com outros dígitos (logo
).
Defina:
Vamos somar o número de sequências válidas para cada par
com
. Para cada par contaremos de forma cuidadosa para respeitar a condição “primeiro dígito diferente de zero” (remoção das sequências com primeiro dígito igual a zero).
Passo 3
Contagem para um par fixo
(sem ainda forçar primeiro dígito
):
- Escolher quais
das 7 posições vão conter o dígito : maneiras. - Das restantes
posições escolher para conter o dígito : maneiras. - As restantes
posições podem ser preenchidas por qualquer um dos dígitos , então possibilidades.
Portanto, o número total (permitindo que o primeiro dígito seja zero) é
Agora corrigir por aqueles com primeiro dígito igual a zero (esses não são números de 7 dígitos válidos). Uma sequência com primeiro dígito zero só é possível se a posição
estiver entre as
posições “outros dígitos”. Para contar esses casos:
- Fixar posição
como . - Nas outras
posições escolher para o : maneiras. - Das restantes
escolher para o : maneiras. - As demais
posições (já que uma das era a posição 1) são preenchidas por opções cada: .
Assim, quando
,
Se
(isto é,
), então
porque não há posição livre para colocar o zero no primeiro lugar.
O número válido para o par
é
Passo 4
Determinar os intervalos possíveis de
e
. Como
e
, obtém-se:
-
: . -
: . -
: .
(Não háporque então violaria .)
Agora vamos calcular cada caso explicitando os coeficientes e potências.
Passo 5
Casos com
.
-
.
Como
,
-
.
Como
,
-
.
Aqui
.
Soma para
:
Passo 6
Casos com
.
-
.
Como
,
-
.
Soma para
:
Passo 7
Caso com
.
Passo 8
Somar todos os casos válidos:
Ficou tudo contado sem conter números que começam com zero, porque subtraímos explicitamente os casos com primeiro dígito zero quando existiam.
Resposta
14976