Quantas são as palavras binárias de comprimento 10 que contêm:
No mínimo quatro algarismos 1 .
No mínimo quatro algarismos 1 .
Passo 1
O que o enunciado pede: contar quantas palavras binárias de comprimento
têm, no mínimo, quatro algarismos
.\n
Informações dadas que são relevantes:
Informações dadas que são relevantes:
- Cada palavra binária tem comprimento
(ou seja, posições). - Cada posição pode ser
ou . - A condição é: o número de
s na palavra deve ser maior ou igual a .
Passo 2
Modelo combinatório (ideia principal): uma palavra binária de comprimento
é completamente determinada pelas posições onde aparecem os
s. Se a palavra tem exatamente
uns, então basta escolher
das
posições para colocar esses
s; as demais posições ficam com
. O número de formas de escolher
posições entre
é o número combinatório
Passo 3
Definição e fórmula de combinação (aula rápida):
é o número de maneiras de escolher
elementos distintos dentre
sem considerar ordem. A fórmula é
onde
(fatorial de
) é
e
. Exemplo simples: para
e
,
que corresponde às 6 maneiras de escolher 2 posições dentre 4.
Passo 4
Estratégia prática para a prova: é mais simples calcular o complemento. O total de palavras binárias de comprimento
é
porque cada uma das
posições tem 2 opções independentes. Queremos as palavras com pelo menos
uns, ou seja, com
. Então
É geralmente mais rápido somar os casos com
(poucos termos) e subtrair de
.
Passo 5
Calcular os termos do complemento (
) usando combinatórias:
Somando esses casos:
Passo 6
Subtrair do total:
Passo 7
Verificação (opcional, útil na prova): pela simetria
pode-se também somar diretamente
com valores
respectivamente; a soma dá
, confirmando o resultado.
Resposta
848