Quantas são as palavras binárias de comprimento 10 que contêm:
No mínimo quatro algarismos 1 .

Passo 1

O que o enunciado pede: contar quantas palavras binárias de comprimento 10 têm, no mínimo, quatro algarismos 1.\n
Informações dadas que são relevantes:
  • Cada palavra binária tem comprimento 10 (ou seja, 10 posições).
  • Cada posição pode ser 0 ou 1.
  • A condição é: o número de 1s na palavra deve ser maior ou igual a 4.

Passo 2

Modelo combinatório (ideia principal): uma palavra binária de comprimento 10 é completamente determinada pelas posições onde aparecem os 1s. Se a palavra tem exatamente k uns, então basta escolher k das 10 posições para colocar esses 1s; as demais posições ficam com 0. O número de formas de escolher k posições entre 10 é o número combinatório
\binom{10}{k}.

Passo 3

Definição e fórmula de combinação (aula rápida): \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher k elementos distintos dentre n sem considerar ordem. A fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1 e 0!=1. Exemplo simples: para n=4 e k=2,
\binom{4}{2}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{24}{2\cdot2}=6,
que corresponde às 6 maneiras de escolher 2 posições dentre 4.

Passo 4

Estratégia prática para a prova: é mais simples calcular o complemento. O total de palavras binárias de comprimento 10 é
2^{10}=1024,
porque cada uma das 10 posições tem 2 opções independentes. Queremos as palavras com pelo menos 4 uns, ou seja, com k\ge4. Então
\#\{\text{palavras com }k\ge4\} = 2^{10} - \#\{\text{palavras com }k\le3\}.
É geralmente mais rápido somar os casos com k=0,1,2,3 (poucos termos) e subtrair de 1024.

Passo 5

Calcular os termos do complemento ( k=0,1,2,3) usando combinatórias:
\binom{10}{0}=1
\binom{10}{1}=10
\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45
\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120
Somando esses casos:
1+10+45+120=176.

Passo 6

Subtrair do total:
2^{10}-176=1024-176=848.

Passo 7

Verificação (opcional, útil na prova): pela simetria \binom{10}{k}=\binom{10}{10-k} pode-se também somar diretamente
\binom{10}{4}+\binom{10}{5}+\binom{10}{6}+\binom{10}{7}+\binom{10}{8}+\binom{10}{9}+\binom{10}{10}
com valores \,210,252,210,120,45,10,1 respectivamente; a soma dá 848, confirmando o resultado.

Resposta

848

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