Sejam X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{40} uma amostra aleatória simples, extraída de uma população cuja função de densidade de probabilidade é:
f(x)=\left\{\begin{array}{crr} \frac{1}{30} e^{2-x}, & \text { se } & 2-4 \ln 2 \leqslant x \leqslant 2 \\\ \frac{2}{45} \sqrt[3]{x-1}, & \text { se } 2 \leqslant x \leqslant 9 \\\\ 0, & \text { caso contrário. } \end{array}\right.
Encontre c tal que P(\bar{X} \leqslant c)=0,975.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra aleatória simples X_{1},\dots,X_{40}\) de uma população com densidade
\[f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{30}e^{2-x}, & 2-4\ln 2 \le x \le 2,\\[6pt] \dfrac{2}{45}\sqrt[3]{x-1}, & 2 \le x \le 9,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
A pergunta é: encontrar c\] tal que
\[P\bigl(\bar{X}\le c\bigr)=0{,}975,\]
onde \(\bar{X}=\dfrac{1}{40}\sum_{i=1}^{40}X_i.
Informações relevantes fornecidas:
Tamanho da amostra: n=40.
A densidade é piecewise com dois ramos: um exponencial à esquerda de 2 (de 2-4\ln2 até 2) e um ramo com potência para x\in[2,9].
É necessário obter a média \mu=E[X] e a variância \sigma^{2}=\operatorname{Var}(X) da população para aplicar a aproximação da distribuição de \bar X.]
Passo 2
Estratégia e justificativa (resumo didático, sem cálculos ainda): com n=40 podemos usar o Teorema Central do Limite (TCL) para aproximar a distribuição de \bar X por uma normal:
\bar X \approx N\!\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right).
Portanto, para achar c tal que P(\bar X\le c)=0{,}975 basta calcular \mu e \sigma, e depois usar o quantil da normal padrão z_{0{,}975} (aproximadamente 1{,}96) para obter
c=\mu+z_{0{,}975}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Nas etapas seguintes vou calcular cuidadosamente \mu e \sigma^{2} pela definição:
\mu=E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx, \qquad E[X^{2}]=\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} f(x)\,dx, \qquad \sigma^{2}=E[X^{2}]-\mu^{2}.
Passo 3
Cálculo de \mu=E[X]. Vou dividir a integral nos dois ramos da densidade.
Primeiro ramo (2-4\ln2\le x\le2, f(x)=\dfrac{1}{30}e^{2-x}):