Sejam X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{40} uma amostra aleatória simples, extraída de uma população cuja função de densidade de probabilidade é:
f(x)=\left\{\begin{array}{crr} \frac{1}{30} e^{2-x}, & \text { se } & 2-4 \ln 2 \leqslant x \leqslant 2 \\\ \frac{2}{45} \sqrt[3]{x-1}, & \text { se } 2 \leqslant x \leqslant 9 \\\\ 0, & \text { caso contrário. } \end{array}\right.á
Encontre c tal que P(\bar{X} \leqslant c)=0,975.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória simples X_{1},\dots,X_{40}\) de uma população com densidade \[f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{30}e^{2-x}, & 2-4\ln 2 \le x \le 2,\\[6pt] \dfrac{2}{45}\sqrt[3]{x-1}, & 2 \le x \le 9,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
A pergunta é: encontrar c\] tal que \[P\bigl(\bar{X}\le c\bigr)=0{,}975,\] onde \(\bar{X}=\dfrac{1}{40}\sum_{i=1}^{40}X_i.
Informações relevantes fornecidas:
  • Tamanho da amostra: n=40.
  • A densidade é piecewise com dois ramos: um exponencial à esquerda de 2 (de 2-4\ln2 até 2) e um ramo com potência para x\in[2,9].
  • É necessário obter a média \mu=E[X] e a variância \sigma^{2}=\operatorname{Var}(X) da população para aplicar a aproximação da distribuição de \bar X.]

Passo 2

Estratégia e justificativa (resumo didático, sem cálculos ainda): com n=40 podemos usar o Teorema Central do Limite (TCL) para aproximar a distribuição de \bar X por uma normal:
\bar X \approx N\!\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right).
Portanto, para achar c tal que P(\bar X\le c)=0{,}975 basta calcular \mu e \sigma, e depois usar o quantil da normal padrão z_{0{,}975} (aproximadamente 1{,}96) para obter
c=\mu+z_{0{,}975}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Nas etapas seguintes vou calcular cuidadosamente \mu e \sigma^{2} pela definição:
\mu=E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx, \qquad E[X^{2}]=\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} f(x)\,dx, \qquad \sigma^{2}=E[X^{2}]-\mu^{2}.

Passo 3

Cálculo de \mu=E[X]. Vou dividir a integral nos dois ramos da densidade.
Primeiro ramo ( 2-4\ln2\le x\le2, f(x)=\dfrac{1}{30}e^{2-x}):
\begin{aligned} \mu_{1} &=\int_{2-4\ln2}^{2} x\cdot \frac{1}{30}e^{2-x}\,dx. \end{aligned}
Faço a substituição u=2-x ( x=2-u, dx=-du). Quando x=2-4\ln2 temos u=4\ln2; quando x=2 temos u=0. Assim
\mu_{1}=\frac{1}{30}\int_{0}^{4\ln2} (2-u)e^{u}\,du.
Para integrar (2-u)e^{u} uso a primitiva (3-u)e^{u} pois
\frac{d}{du}\bigl((3-u)e^{u}\bigr)=(2-u)e^{u}.
Portanto
\mu_{1}=\frac{1}{30}\Bigl[(3-u)e^{u}\Bigr]_{0}^{4\ln2} =\frac{1}{30}\Bigl((3-4\ln2)e^{4\ln2}-3\Bigr).
Como e^{4\ln2}=2^{4}=16, obtemos
\mu_{1}=\frac{1}{30}\bigl(16(3-4\ln2)-3\bigr) =\frac{1}{30}\bigl(45-64\ln2\bigr).
Segundo ramo ( 2\le x\le9, f(x)=\dfrac{2}{45}(x-1)^{1/3}):
Faço t=x-1 ( t vai de 1 a 8, x=t+1):
\mu_{2}=\int_{2}^{9} x\cdot \frac{2}{45}(x-1)^{1/3}\,dx =\frac{2}{45}\int_{1}^{8} (t+1)t^{1/3}\,dt =\frac{2}{45}\int_{1}^{8}\bigl(t^{4/3}+t^{1/3}\bigr)\,dt.
Integro termo a termo:
\int t^{4/3}dt=\frac{3}{7}t^{7/3},\qquad \int t^{1/3}dt=\frac{3}{4}t^{4/3}.
Então
\mu_{2}=\frac{2}{45}\Bigl[\frac{3}{7}t^{7/3}+\frac{3}{4}t^{4/3}\Bigr]_{1}^{8}.
Calculo as potências: 8^{4/3}=16, 8^{7/3}=128. Avaliando:
\mu_{2}=\frac{2}{45}\cdot 3\Bigl(\frac{128-1}{7}+\frac{16-1}{4}\Bigr) =\frac{2}{15}\Bigl(\frac{127}{7}+\frac{15}{4}\Bigr) =\frac{613}{210}.
Soma das duas contribuições:
\mu=\mu_{1}+\mu_{2} =\frac{1}{30}\bigl(45-64\ln2\bigr)+\frac{613}{210}.
Posso simplificar a parte racional: \dfrac{1}{30}\cdot 45=\dfrac{3}{2}, então
\mu=\frac{3}{2}-\frac{32}{15}\ln2+\frac{613}{210}.

Passo 4

Avaliação numérica de \mu (mostrar cálculo numérico com explicação):
\ln2\approx 0{,}6931471806.
Compute cada termo:
\frac{3}{2}=1{,}5,\qquad \frac{613}{210}\approx 2{,}9190476190,\qquad \frac{32}{15}\ln2\approx 1{,}4787139852.
Logo
\mu\approx 1{,}5+2{,}9190476190-1{,}4787139852\approx 2{,}9403336339.

Passo 5

Cálculo de E[X^{2}]. Faço novamente pelas duas partes.
Primeiro ramo:
E_{1}^{(2)}=\int_{2-4\ln2}^{2} x^{2}\cdot\frac{1}{30}e^{2-x}\,dx.
Com u=2-x ( x=2-u), x^{2}=(2-u)^{2}=4-4u+u^{2}. Então
E_{1}^{(2)}=\frac{1}{30}\int_{0}^{4\ln2} (4-4u+u^{2})e^{u}\,du.
A primitiva de (4-4u+u^{2})e^{u} é (u^{2}-6u+10)e^{u} (derivando confirma). Assim
E_{1}^{(2)}=\frac{1}{30}\Bigl[(u^{2}-6u+10)e^{u}\Bigr]_{0}^{4\ln2}.
Usando e^{4\ln2}=16 obtemos
E_{1}^{(2)}=\frac{1}{30}\bigl(16(16\ln^{2}2-24\ln2+10)-10\bigr) =\frac{128}{15}\ln^{2}2-\frac{64}{5}\ln2+5.
Segundo ramo:
E_{2}^{(2)}=\int_{2}^{9} x^{2}\cdot\frac{2}{45}(x-1)^{1/3}\,dx.
Com t=x-1, x^{2}=(t+1)^{2}=t^{2}+2t+1, e multiplicando por t^{1/3} temos t^{7/3}+2t^{4/3}+t^{1/3}. Então
E_{2}^{(2)}=\frac{2}{45}\int_{1}^{8}\bigl(t^{7/3}+2t^{4/3}+t^{1/3}\bigr)\,dt.
Integrando:
\int t^{7/3}dt=\frac{3}{10}t^{10/3},\quad \int t^{4/3}dt=\frac{3}{7}t^{7/3},\quad \int t^{1/3}dt=\frac{3}{4}t^{4/3}.
Assim
E_{2}^{(2)}=\frac{2}{15}\Bigl(\frac{1024-1}{10}+\frac{2(128-1)}{7}+\frac{16-1}{4}\Bigr).
Avaliado isso dá numericamente
E_{2}^{(2)}\approx 18{,}9780952381.
Somando:
E[X^{2}]=E_{1}^{(2)}+E_{2}^{(2)}\approx 0{,}2309809888+18{,}9780952381\approx 19{,}2090762269,
onde E_{1}^{(2)}\approx 0{,}2309809888 foi obtido avaliando a expressão com \ln2.

Passo 6

Cálculo da variância e do desvio-padrão:
\sigma^{2}=E[X^{2}]-\mu^{2}.
Usando os valores numéricos:
\mu\approx 2{,}9403336339,\qquad E[X^{2}]\approx 19{,}2090762269.
Então
\sigma^{2}\approx 19{,}2090762269-(2{,}9403336339)^{2}\approx 10{,}5635143488.
O desvio-padrão da população é
\sigma\approx\sqrt{10{,}5635143488}\approx 3{,}250155.
Como a amostra tem n=40, o erro padrão da média é
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\approx\frac{3{,}250155}{\sqrt{40}}\approx\frac{3{,}250155}{6{,}324555}\approx 0{,}513924.

Passo 7

Aplicação do TCL e cálculo de c. Pelo TCL,
\bar X \approx N\!\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right).
Para P(\bar X\le c)=0{,}975 usamos o quantil da normal padrão z_{0{,}975}\approx 1{,}96 e obtemos
c=\mu+z_{0{,}975}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \approx 2{,}9403336339 + 1{,}96\cdot 0{,}513924.
Cálculo numérico:
1{,}96\cdot 0{,}513924\approx 1{,}006156,
portanto
c\approx 2{,}9403336339 + 1{,}006156 \approx 3{,}9464896339.

Resposta

c\approx 3{,}9465

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