Quantos inteiros entre 1 e 1000 inclusive:
não são divisíveis por nenhum dos números
e 10 ?
não são divisíveis por nenhum dos números
Passo 1
O enunciado pede: contar quantos inteiros entre
e
(inclusive) não são divisíveis por nenhum dos números
.
Informações relevantes dadas:
- O intervalo considerado é de
até , portanto o total de inteiros é . - Precisamos excluir todos os inteiros que são divisíveis por pelo menos um dos números
. - Logo a resposta procurada é o número de inteiros em
que NÃO pertencem à união dos conjuntos: múltiplos de , múltiplos de , múltiplos de e múltiplos de .
Passo 2
Ideia de resolução (explicação do método usado, sem resolver ainda):
- Para contar quantos números são divisíveis por pelo menos um dos divisores dados usaremos a fórmula de inclusão-exclusão: somar os múltiplos de cada divisor, subtrair os múltiplos das interseções de pares, somar as interseções de trios, subtrair a interseção de quatro, etc.
- Depois, o número de inteiros que NÃO são divisíveis por nenhum é simplesmente o total
menos o número de inteiros divisíveis por pelo menos um.
Breve explicação de como contar múltiplos de um número
no intervalo
:
- O número de múltiplos de
em é , porque os múltiplos são até o maior .
Passo 3
Contagem dos múltiplos de cada divisor isolado (singulares):
- Múltiplos de
: . - Múltiplos de
: . - Múltiplos de
: . - Múltiplos de
: .
Soma dos singulares:
Passo 4
Contagem das interseções de pares (números divisíveis pelos dois divisores):
- Para dois divisores
os números divisíveis por ambos são múltiplos de , onde é o mínimo múltiplo comum.
Calculamos: -
-
-
(observe que já é múltiplo de ) -
-
-
Soma das interseções de pares:
Passo 5
Contagem das interseções de trios (múltiplos de três divisores ao mesmo tempo):
Soma das interseções de trios:
Passo 6
Interseção de todos os quatro divisores:
-
Portanto
Passo 7
Aplicando a inclusão-exclusão para contar quantos inteiros em
são divisíveis por pelo menos um dos números:
Substituindo os valores:
Passo 8
Finalmente, o número de inteiros entre
e
que NÃO são divisíveis por nenhum dos números
é o complemento:
Força aí — você consegue! A técnica principal é sempre lembrar de somar os singulares, subtrair pares, somar trios, etc. Dá trabalho de contagem, mas é mecânico.
Resposta
286