Quantos inteiros entre 1 e 1000 inclusive:
não são divisíveis por nenhum dos números 2,3,7 e 10 ?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantos inteiros entre 1 e 1000 (inclusive) não são divisíveis por nenhum dos números 2,3,7,10.
Informações relevantes dadas:
  • O intervalo considerado é de 1 até 1000, portanto o total de inteiros é 1000.
  • Precisamos excluir todos os inteiros que são divisíveis por pelo menos um dos números \,2,3,7,10.
  • Logo a resposta procurada é o número de inteiros em \{1,\dots,1000\} que NÃO pertencem à união dos conjuntos: múltiplos de 2, múltiplos de 3, múltiplos de 7 e múltiplos de 10.

Passo 2

Ideia de resolução (explicação do método usado, sem resolver ainda):
  • Para contar quantos números são divisíveis por pelo menos um dos divisores dados usaremos a fórmula de inclusão-exclusão: somar os múltiplos de cada divisor, subtrair os múltiplos das interseções de pares, somar as interseções de trios, subtrair a interseção de quatro, etc.
  • Depois, o número de inteiros que NÃO são divisíveis por nenhum é simplesmente o total 1000 menos o número de inteiros divisíveis por pelo menos um.
Breve explicação de como contar múltiplos de um número d no intervalo [1,1000]:
  • O número de múltiplos de d em \{1,\dots,1000\} é \left\lfloor\dfrac{1000}{d}\right\rfloor, porque os múltiplos são d,2d,3d,\dots até o maior kd\le1000.

Passo 3

Contagem dos múltiplos de cada divisor isolado (singulares):
  • Múltiplos de 2: \left\lfloor\dfrac{1000}{2}\right\rfloor = 500.
  • Múltiplos de 3: \left\lfloor\dfrac{1000}{3}\right\rfloor = 333.
  • Múltiplos de 7: \left\lfloor\dfrac{1000}{7}\right\rfloor = 142.
  • Múltiplos de 10: \left\lfloor\dfrac{1000}{10}\right\rfloor = 100.
Soma dos singulares:
S_1 = 500 + 333 + 142 + 100 = 1075.

Passo 4

Contagem das interseções de pares (números divisíveis pelos dois divisores):
  • Para dois divisores a,b os números divisíveis por ambos são múltiplos de \mathrm{lcm}(a,b), onde \mathrm{lcm} é o mínimo múltiplo comum.
    Calculamos:
  • \mathrm{lcm}(2,3)=6 \Rightarrow \left\lfloor\dfrac{1000}{6}\right\rfloor = 166.
  • \mathrm{lcm}(2,7)=14 \Rightarrow \left\lfloor\dfrac{1000}{14}\right\rfloor = 71.
  • \mathrm{lcm}(2,10)=10 \Rightarrow \left\lfloor\dfrac{1000}{10}\right\rfloor = 100. (observe que 10 já é múltiplo de 2)
  • \mathrm{lcm}(3,7)=21 \Rightarrow \left\lfloor\dfrac{1000}{21}\right\rfloor = 47.
  • \mathrm{lcm}(3,10)=30 \Rightarrow \left\lfloor\dfrac{1000}{30}\right\rfloor = 33.
  • \mathrm{lcm}(7,10)=70 \Rightarrow \left\lfloor\dfrac{1000}{70}\right\rfloor = 14.
Soma das interseções de pares:
S_2 = 166+71+100+47+33+14 = 431.

Passo 5

Contagem das interseções de trios (múltiplos de três divisores ao mesmo tempo):
  • \mathrm{lcm}(2,3,7)=\mathrm{lcm}(6,7)=42 \Rightarrow \left\lfloor\dfrac{1000}{42}\right\rfloor = 23.
  • \mathrm{lcm}(2,3,10)=\mathrm{lcm}(6,10)=30 \Rightarrow \left\lfloor\dfrac{1000}{30}\right\rfloor = 33.
  • \mathrm{lcm}(2,7,10)=\mathrm{lcm}(10,7)=70 \Rightarrow \left\lfloor\dfrac{1000}{70}\right\rfloor = 14.
  • \mathrm{lcm}(3,7,10)=\mathrm{lcm}(21,10)=210 \Rightarrow \left\lfloor\dfrac{1000}{210}\right\rfloor = 4.
Soma das interseções de trios:
S_3 = 23 + 33 + 14 + 4 = 74.

Passo 6

Interseção de todos os quatro divisores:
  • \mathrm{lcm}(2,3,7,10)=\mathrm{lcm}(2,3,5,7)=210 \Rightarrow \left\lfloor\dfrac{1000}{210}\right\rfloor = 4.
    Portanto
S_4 = 4.

Passo 7

Aplicando a inclusão-exclusão para contar quantos inteiros em \{1,\dots,1000\} são divisíveis por pelo menos um dos números:
\text{Divisíveis por algum} \;=\; S_1 - S_2 + S_3 - S_4.í
Substituindo os valores:
\text{Divisíveis por algum} \;=\; 1075 - 431 + 74 - 4 = 714.í

Passo 8

Finalmente, o número de inteiros entre 1 e 1000 que NÃO são divisíveis por nenhum dos números 2,3,7,10 é o complemento:
1000 - 714 = 286.
Força aí — você consegue! A técnica principal é sempre lembrar de somar os singulares, subtrair pares, somar trios, etc. Dá trabalho de contagem, mas é mecânico.

Resposta

286

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