- De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com 6 crianças, de modo que duas delas, Vera e Isadora, não fiquem juntas?
Passo 1
O enunciado dá que há
crianças formando uma roda de ciranda e pede: de quantos modos podemos organizar as
crianças em círculo de modo que Vera e Isadora não fiquem juntas?
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Número total de crianças:
. - Duas crianças específicas que não podem ser adjacentes: Vera e Isadora.
- As disposições são em círculo (rotações consideradas iguais).
Passo 2
Entendendo como contar disposições em círculo (noções que vamos usar): a regra básica é que o número de maneiras de arranjar
pessoas distintas em volta de uma mesa circular, sendo que duas disposições que diferem apenas por uma rotação são consideradas a mesma, é
Explicação didática dessa fórmula: imagine fixar uma pessoa em um lugar como referência (por exemplo, sentar a pessoa A e não mexer nela). Depois disso restam
lugares em volta, que podem ser preenchidos por permutações das outras
pessoas, ou seja,
. Fixando alguém eliminamos a contagem redundante causada pelas rotações. Esse raciocínio é fácil de aplicar na prova: sempre que tiver uma roda e rotações forem iguais, pense “fixo uma pessoa e conto as permutações das demais”.
Passo 3
Aplicando a fórmula para o total de arranjos sem restrição: com
crianças distintas, o total de disposições em círculo é
Isso significa que, se não houvesse a restrição de Vera e Isadora, existiriam
maneiras distintas de formar a roda.
Passo 4
Vamos contar de forma complementar: contar quantas disposições têm Vera e Isadora juntas (casos proibidos) e subtrair do total. Esse método é útil porque é mais simples contar os casos em que duas pessoas estão juntas do que contar diretamente todos os casos em que não estão juntas.
Passo 5
Contando as disposições em que Vera e Isadora ficam juntas (método do bloco): trate Vera e Isadora como se fossem um único bloco (uma “dupla”) quando estiverem lado a lado. Então, junto com as outras
crianças, temos
“objetos” para arranjar em círculo (o bloco + as 4 crianças restantes). Pelo raciocínio do passo 2, o número de arranjos circulares desses
objetos é
Dentro do bloco, Vera e Isadora podem trocar de ordem (Vera à esquerda de Isadora ou à direita), ou seja, há
formas internas do bloco. Portanto o número total de arranjos em que Vera e Isadora estão juntas é
Observação conceitual: multiplicamos pelo
porque ao agrupar como bloco perdemos a informação da ordem interna; precisamos recuperar essas possíveis ordens.
Passo 6
Subtrair os casos proibidos do total para obter os casos desejados: o número de arranjos em que Vera e Isadora NÃO ficam juntas é
Passo 7
Verificação alternativa (mesma ideia, outra forma de pensar para checar): fixe Vera em um lugar (isso elimina as rotações). Então há
lugares restantes para as outras
crianças. As posições adjacentes a Vera são exatamente
. Se quisermos contar os arranjos em que Isadora fica adjacente a Vera, escolhemos uma das
posições para Isadora e permutamos as outras
crianças nos
lugares restantes:
. Isso confirma o número de casos proibidos e, ao subtrair de
, obtemos novamente
.