1. De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com 6 crianças, de modo que duas delas, Vera e Isadora, não fiquem juntas?

Passo 1

O enunciado dá que há 6 crianças formando uma roda de ciranda e pede: de quantos modos podemos organizar as 6 crianças em círculo de modo que Vera e Isadora não fiquem juntas?
Informações relevantes:
  • Número total de crianças: 6.
  • Duas crianças específicas que não podem ser adjacentes: Vera e Isadora.
  • As disposições são em círculo (rotações consideradas iguais).

Passo 2

Entendendo como contar disposições em círculo (noções que vamos usar): a regra básica é que o número de maneiras de arranjar n pessoas distintas em volta de uma mesa circular, sendo que duas disposições que diferem apenas por uma rotação são consideradas a mesma, é
(n-1)!
Explicação didática dessa fórmula: imagine fixar uma pessoa em um lugar como referência (por exemplo, sentar a pessoa A e não mexer nela). Depois disso restam n-1 lugares em volta, que podem ser preenchidos por permutações das outras n-1 pessoas, ou seja, (n-1)!. Fixando alguém eliminamos a contagem redundante causada pelas rotações. Esse raciocínio é fácil de aplicar na prova: sempre que tiver uma roda e rotações forem iguais, pense “fixo uma pessoa e conto as permutações das demais”.

Passo 3

Aplicando a fórmula para o total de arranjos sem restrição: com 6 crianças distintas, o total de disposições em círculo é
(6-1)! = 5! = 120.
Isso significa que, se não houvesse a restrição de Vera e Isadora, existiriam 120 maneiras distintas de formar a roda.

Passo 4

Vamos contar de forma complementar: contar quantas disposições têm Vera e Isadora juntas (casos proibidos) e subtrair do total. Esse método é útil porque é mais simples contar os casos em que duas pessoas estão juntas do que contar diretamente todos os casos em que não estão juntas.

Passo 5

Contando as disposições em que Vera e Isadora ficam juntas (método do bloco): trate Vera e Isadora como se fossem um único bloco (uma “dupla”) quando estiverem lado a lado. Então, junto com as outras 4 crianças, temos 5 “objetos” para arranjar em círculo (o bloco + as 4 crianças restantes). Pelo raciocínio do passo 2, o número de arranjos circulares desses 5 objetos é
(5-1)! = 4! = 24.
Dentro do bloco, Vera e Isadora podem trocar de ordem (Vera à esquerda de Isadora ou à direita), ou seja, há 2 formas internas do bloco. Portanto o número total de arranjos em que Vera e Isadora estão juntas é
4! \times 2 = 24 \times 2 = 48.
Observação conceitual: multiplicamos pelo 2 porque ao agrupar como bloco perdemos a informação da ordem interna; precisamos recuperar essas possíveis ordens.

Passo 6

Subtrair os casos proibidos do total para obter os casos desejados: o número de arranjos em que Vera e Isadora NÃO ficam juntas é
120 - 48 = 72.

Passo 7

Verificação alternativa (mesma ideia, outra forma de pensar para checar): fixe Vera em um lugar (isso elimina as rotações). Então há 5 lugares restantes para as outras 5 crianças. As posições adjacentes a Vera são exatamente 2. Se quisermos contar os arranjos em que Isadora fica adjacente a Vera, escolhemos uma das 2 posições para Isadora e permutamos as outras 4 crianças nos 4 lugares restantes: 2 \times 4! = 2 \times 24 = 48. Isso confirma o número de casos proibidos e, ao subtrair de 5! = 120, obtemos novamente 72.

Resposta

72

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