Quantas são as soluções inteiras não negativas de x+y+z+w<6 ?

Passo 1

O enunciado quer contar quantas soluções em inteiros não negativos (x,y,z,w) satisfazem
x+y+z+w<6.
O conteúdo aqui é contagem de soluções inteiras com restrição de soma, usando o princípio “estrelas e barras”.

Passo 2

Note que a condição
x+y+z+w<6
é equivalente a
x+y+z+w\le5.

Passo 3

Para transformar essa desigualdade em uma igualdade, introduzimos uma variável auxiliar t\ge0 tal que
x+y+z+w+t=5.
Agora contamos soluções não negativas de 5 em 5 variáveis.

Passo 4

Pela fórmula de estrelas e barras, o número de soluções da equação
x+y+z+w+t=5
com x,y,z,w,t\ge0 é
\binom{5 + 5 - 1}{5 - 1} =\binom{9}{4}.

Passo 5

Basta calcular
\binom{9}{4} =\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2\cdot1} =126.

Resposta

126

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