Quantas são as soluções inteiras não negativos de x+y+z+w=3 ?

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções em inteiros não negativos para
x + y + z + w = 3.
O conteúdo é de combinatória, mais precisamente o método de “estrelas e barras” (stars and bars), usado para contar distribuições de um total n em k partes não negativas.

Passo 2

Interpretamos a equação como distribuir 3 unidades idênticas (as “estrelas”) em 4 variáveis (as “baldes” x,y,z,w), permitindo que algum balde receba zero unidades. O número de soluções corresponde ao número de arranjos de 3 estrelas e 3 barras (pois precisamos de k-1=3 separadores para criar 4 compartimentos).

Passo 3

Pelo teorema de stars and bars, o número de soluções não negativas de
x_1 + x_2 + \dots + x_k = n
é
\binom{n + k - 1}{k - 1}.
Aqui n=3 e k=4, então o total é
\binom{3 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{6}{3}.

Passo 4

Calculamos
\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20.

Resposta

20

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