- Quantas são as soluções inteiras não negativos de
Passo 1
O enunciado pede: contar quantas são as soluções inteiras não negativas da equação
Informações dadas:
- As incógnitas são
, , e . - Cada variável deve ser um inteiro não negativo (ou seja,
). - A soma das quatro variáveis deve ser exatamente
.
Passo 2
Interpretação útil (forma concreta para entender): pense que temos
objetos indistinguíveis (tipo bolinhas) que queremos distribuir entre
caixas distintas (uma caixa para
, outra para
, outra para
e outra para
). A quantidade de bolinhas na caixa
será o valor de
, e assim por diante. Como as bolinhas são indistinguíveis e as caixas são distintas, cada distribuição corresponde exatamente a uma solução inteira não negativa da equação. Nosso objetivo então é contar todas as distribuições possíveis.
Passo 3
Construção visual (motivo da fórmula): represente as
bolinhas por
estrelas
. Para separar as
caixas, usamos
divisores (barras) entre elas. Por exemplo, uma configuração poderia ser
que corresponde a
,
,
,
. Em geral teremos
estrelas e
barras, totalizando
símbolos em linha. Qualquer escolha de posições das
barras entre os
lugares determina uma distribuição única (e vice-versa). Portanto contar distribuições equivale a escolher quais
das
posições serão ocupadas por barras.
Passo 4
Transformando em conta de combinações: o número de maneiras de escolher quais são as posições das barras entre os
lugares é
Explicando a notação:
é o número de combinações de
elementos tomados
a
(escolher 3 lugares dentre 6). Para calcular numericamente,
Agora faça as contas passo a passo:
e
. Então
Passo 5
Verificação rápida por intuição: algumas soluções são
,
,
,
etc. Contando todas as possíveis combinações como as construídas com estrelas e barras, acabamos com
soluções diferentes — consistente com o cálculo anterior. Vai dar tempo na prova: basta lembrar que, para somar
com
variáveis não negativas, a fórmula é
(aqui
,
).
Resposta
20