1. Quantas são as soluções inteiras não negativos de
x+y+z+w=3 ?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantas são as soluções inteiras não negativas da equação
x+y+z+w=3.
Informações dadas:
  • As incógnitas são x, y, z e w.
  • Cada variável deve ser um inteiro não negativo (ou seja, 0,1,2,\dots).
  • A soma das quatro variáveis deve ser exatamente 3.

Passo 2

Interpretação útil (forma concreta para entender): pense que temos 3 objetos indistinguíveis (tipo bolinhas) que queremos distribuir entre 4 caixas distintas (uma caixa para x, outra para y, outra para z e outra para w). A quantidade de bolinhas na caixa x será o valor de x, e assim por diante. Como as bolinhas são indistinguíveis e as caixas são distintas, cada distribuição corresponde exatamente a uma solução inteira não negativa da equação. Nosso objetivo então é contar todas as distribuições possíveis.

Passo 3

Construção visual (motivo da fórmula): represente as 3 bolinhas por 3 estrelas \ast. Para separar as 4 caixas, usamos 3 divisores (barras) entre elas. Por exemplo, uma configuração poderia ser
\ast\ast|\;|\ast|\,
que corresponde a x=2, y=0, z=1, w=0. Em geral teremos 3 estrelas e 4-1=3 barras, totalizando 3+3=6 símbolos em linha. Qualquer escolha de posições das 3 barras entre os 6 lugares determina uma distribuição única (e vice-versa). Portanto contar distribuições equivale a escolher quais 3 das 6 posições serão ocupadas por barras.

Passo 4

Transformando em conta de combinações: o número de maneiras de escolher quais são as posições das barras entre os 6 lugares é
\binom{6}{3}.
Explicando a notação: \binom{6}{3} é o número de combinações de 6 elementos tomados 3 a 3 (escolher 3 lugares dentre 6). Para calcular numericamente,
\binom{6}{3}=\frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}.
Agora faça as contas passo a passo: 6\cdot 5\cdot 4 = 120 e 3\cdot 2\cdot 1 = 6. Então
\binom{6}{3}=\frac{120}{6}=20.

Passo 5

Verificação rápida por intuição: algumas soluções são (3,0,0,0), (2,1,0,0), (1,1,1,0), (0,0,0,3) etc. Contando todas as possíveis combinações como as construídas com estrelas e barras, acabamos com 20 soluções diferentes — consistente com o cálculo anterior. Vai dar tempo na prova: basta lembrar que, para somar k com n variáveis não negativas, a fórmula é \binom{k+n-1}{n-1} (aqui k=3, n=4).

Resposta

20

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