Qual o resto da divisão de x^100+2 x^99+2 x+5 por x^2+x-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma divisão de polinômios! Aqui, queremos encontrar o resto da divisão de $ x^{100} + 2x^{99} + 2x + 5 $ por $ x^{2} + x - 2 $. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra polinomial, especificamente a divisão de polinômios e o teorema do resto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando dividimos um polinômio $ P(x) $ por outro polinômio $ D(x) $ de grau menor, o resto $ R(x) $ terá grau menor que o de $ D(x) $. No nosso caso, como $ D(x) = x^{2} + x - 2 $ é de grau 2, o resto $ R(x) $ será de grau 1 ou menos, ou seja, terá a forma $ R(x) = ax + b $.

Passo 3

Para encontrar os valores de $ a $ e $ b $, podemos usar o fato de que se substituirmos as raízes de $ D(x) $ em $ P(x) $, o resultado será exatamente o resto $ R(x) $. Primeiro, vamos encontrar as raízes de $ D(x) = x^{2} + x - 2 $.

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática $ x^{2} + x - 2 = 0 $:
x^2 + x - 2 = 0
Portanto, as raízes são $ x = 1 $ e $ x = -2 $.

Passo 5

Agora, vamos substituir $ x = 1 $ e $ x = -2 $ no polinômio $ P(x) = x^{100} + 2x^{99} + 2x + 5 $ para encontrar dois valores que nos ajudarão a determinar $ a $ e $ b $.
Para $ x = 1 $:
x = 1
Como $ R(1) = a \cdot 1 + b = a + b $, temos:
x = -2 çã
Para $ x = -2 $:
P(x) = x^100 + 2x^99 + 2x + 5
Sabemos que $ (-2)^{100} = 2^{100} $ (pois a potência é par) e $ (-2)^{99} = -2^{99} $ (pois a potência é ímpar). Porém, para simplificar, observamos que qualquer termo com potência alta de $ x $ será reduzido pelo divisor, então realmente só precisamos calcular o valor exato:
a
b
x = 1
Então, $ R(-2) = a \cdot (-2) + b = -2a + b $:
P(1) = 1^100 + 2 cdot 1^99 + 2 cdot 1 + 5 = 1 + 2 + 2 + 5 = 10 çã

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações:
  1. $ a + b = 10 $
  2. $ -2a + b = 1 $
Vamos resolver esse sistema:
Subtraindo a Equação 2 da Equação 1:
a + b = 10
-2a + b = 1
(a + b) - (-2a + b) = 10 - 1
Substituindo $ a = 3 $ na Equação 1:
a + b + 2a - b = 9

Resposta

O resto da divisão é $ R(x) = 3x + 7 $.

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