Quantas soluções existem para a equação x1+x2+x3=20, sendo que cada xi, i=1,2,3, é um inteiro não-negativo?

Passo 1

Beleza, aqui a questão é: “Quantas soluções inteiras não-negativas existem para
x1 + x2 + x3 = 20,
onde cada binomn + k - 1k - 1 é inteiro e ?”
Isso faz parte de Combinatória, mais precisamente do método chamado “stars and bars” (ou “bolinhas e urnas”).
O que a gente vai usar:
  • A ideia de distribuir 20 unidades (as “estrelas”) entre 3 variáveis (as “caixinhas”).
  • A fórmula de combinação para “repetição”, que é

Passo 2

Explicando a teoria do stars and bars:
Imagine que você tem 20 estrelinhas alinhadas e quer colocar “divisórias” (barras) para separar em 3 grupos, cada grupo contando quantas estrelinhas cabem em binom222 , binomn + k - 1k - 1 e .
  • Como são 3 grupos, precisamos de 2 barras.
  • No total, vamos arrumar 20 estrelas + 2 barras = 22 símbolos.
  • Escolher onde colocar as 2 barras dentre os 22 espaços é o mesmo que
De forma geral, para estrelas e variáveis, a conta é

Passo 3

Agora é só aplicar:
  • binom20 + 3 - 13 - 1 = binom222 (a soma)
  • binom222 = 22!2!,20! = 22 times 212 = 231 (o número de variáveis)
Então o número de soluções é
E aí

Resposta

O número de soluções inteiras não-negativas para é 231.

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