Quantas soluções existem para a equação
, sendo que cada
,
, é um inteiro não-negativo?
Passo 1
Beleza, aqui a questão é: “Quantas soluções inteiras não-negativas existem para
onde cada
é inteiro e
?”
Isso faz parte de Combinatória, mais precisamente do método chamado “stars and bars” (ou “bolinhas e urnas”).
O que a gente vai usar:
Isso faz parte de Combinatória, mais precisamente do método chamado “stars and bars” (ou “bolinhas e urnas”).
O que a gente vai usar:
- A ideia de distribuir 20 unidades (as “estrelas”) entre 3 variáveis (as “caixinhas”).
- A fórmula de combinação para “repetição”, que é
Passo 2
Explicando a teoria do stars and bars:
Imagine que você tem 20 estrelinhas alinhadas e quer colocar “divisórias” (barras) para separar em 3 grupos, cada grupo contando quantas estrelinhas cabem em ,
e
.
Imagine que você tem 20 estrelinhas alinhadas e quer colocar “divisórias” (barras) para separar em 3 grupos, cada grupo contando quantas estrelinhas cabem em
- Como são 3 grupos, precisamos de 2 barras.
- No total, vamos arrumar 20 estrelas + 2 barras = 22 símbolos.
- Escolher onde colocar as 2 barras dentre os 22 espaços é o mesmo que
De forma geral, para
estrelas e
variáveis, a conta é
Passo 3
Agora é só aplicar:
-
(a soma) -
(o número de variáveis)
Então o número de soluções é
E aí
Resposta
O número de soluções inteiras não-negativas para
é 231.