De quantas maneiras podemos escolher um subconjunto de 3 elementos de um conjunto com 10 elementos?

Passo 1

O enunciado diz: temos um conjunto com 10 elementos e queremos saber de quantas maneiras podemos escolher um subconjunto com 3 elementos.
Informações dadas:
  • O conjunto original tem 10 elementos.
  • Queremos selecionar exatamente 3 elementos.
    Pergunta a responder: quantos subconjuntos de tamanho 3 existem? (ou seja, quantas escolhas diferentes de 3 elementos existem, quando a ordem dos elementos escolhidos não importa).

Passo 2

Entendendo conceitos básicos que vamos usar (sem pular etapas). Primeiro, o fatorial:
  • Definição: para inteiro n\ge1, o fatorial n! é o produto de todos os inteiros positivos até n: n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1.
  • Exemplos: 3!=3\cdot2\cdot1=6, 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24.
    O fatorial aparece em contagens porque ele conta permutações completas de n objetos.

Passo 3

Contagem de escolhas ordenadas (permutações parciais). Se a ordem importasse (ou seja, se distinguíssemos sequências diferentes), o número de maneiras de escolher e ordenar 3 elementos distintos de um conjunto de 10 é
P(10,3)=10\cdot9\cdot8.
Explicando: para a primeira posição temos 10 opções, depois 9, depois 8. Também podemos escrever essa expressão usando fatoriais:
P(10,3)=\frac{10!}{(10-3)!}=\frac{10!}{7!}.

Passo 4

Por que dividir quando a ordem não importa? Cada subconjunto de 3 elementos corresponde a várias sequências (permutations) diferentes: exatamente 3! sequências, porque 3! é o número de ordens possíveis dos mesmos 3 elementos. Portanto, para obter o número de subconjuntos (onde a ordem não importa), dividimos o número de sequências ordenadas por 3!:
\text{nº de subconjuntos}=\frac{P(10,3)}{3!}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}.º

Passo 5

Cálculo explícito passo a passo (sem pular contas):
10\cdot9\cdot8 = 720, \qquad 3\cdot2\cdot1 = 6.
Dividindo,
\frac{720}{6}=120.
Também podemos usar diretamente a fórmula do coeficiente binomial:
\binom{10}{3}=\frac{10!}{3!\,7!}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120,
que dá o mesmo resultado.

Passo 6

Intuição com um exemplo menor para fixar: com 4 elementos \{a,b,c,d\}, o número de subconjuntos de tamanho 2 é
\binom{4}{2}=\frac{4\cdot3}{2\cdot1}=6,
e podemos listar: \{a,b\},\{a,c\},\{a,d\},\{b,c\},\{b,d\},\{c,d\}. Isso ajuda a ver que a fórmula funciona e por quê.

Resposta

120

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