De quantas maneiras podemos escolher um subconjunto de 3 elementos de um conjunto com 10 elementos?
Passo 1
O enunciado diz: temos um conjunto com
elementos e queremos saber de quantas maneiras podemos escolher um subconjunto com
elementos.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O conjunto original tem
elementos. - Queremos selecionar exatamente
elementos.
Pergunta a responder: quantos subconjuntos de tamanhoexistem? (ou seja, quantas escolhas diferentes de elementos existem, quando a ordem dos elementos escolhidos não importa).
Passo 2
Entendendo conceitos básicos que vamos usar (sem pular etapas). Primeiro, o fatorial:
- Definição: para inteiro
, o fatorial é o produto de todos os inteiros positivos até : - Exemplos:
, .
O fatorial aparece em contagens porque ele conta permutações completas deobjetos.
Passo 3
Contagem de escolhas ordenadas (permutações parciais). Se a ordem importasse (ou seja, se distinguíssemos sequências diferentes), o número de maneiras de escolher e ordenar
elementos distintos de um conjunto de
é
Explicando: para a primeira posição temos
opções, depois
, depois
. Também podemos escrever essa expressão usando fatoriais:
Passo 4
Por que dividir quando a ordem não importa? Cada subconjunto de
elementos corresponde a várias sequências (permutations) diferentes: exatamente
sequências, porque
é o número de ordens possíveis dos mesmos
elementos. Portanto, para obter o número de subconjuntos (onde a ordem não importa), dividimos o número de sequências ordenadas por
:
Passo 5
Cálculo explícito passo a passo (sem pular contas):
Dividindo,
Também podemos usar diretamente a fórmula do coeficiente binomial:
que dá o mesmo resultado.
Passo 6
Intuição com um exemplo menor para fixar: com
elementos
, o número de subconjuntos de tamanho
é
e podemos listar:
. Isso ajuda a ver que a fórmula funciona e por quê.
Resposta
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