De quantas maneiras podemos escolher um subconjunto de 3 elementos de um conjunto com 10 elementos, contendo um elemento fixo previamente escolhido?

Passo 1

O enunciado pede: escolher um subconjunto de 3 elementos de um conjunto com 10 elementos, com a condição adicional de que o subconjunto deve conter um elemento que já foi fixado previamente. Informações dadas:
  • O conjunto total tem 10 elementos.
  • Um elemento específico já está selecionado e obrigatoriamente deve estar no subconjunto.
  • O subconjunto final deve ter exatamente 3 elementos.

Passo 2

Interpretando a condição: como um elemento já está fixo dentro do subconjunto, resta escolher os outros elementos do subconjunto entre os elementos restantes do conjunto original. Ou seja:
  • Já temos 1 elemento escolhido (o fixo).
  • Precisamos escolher mais 2 elementos para completar o subconjunto de 3.
  • O número de elementos disponíveis para escolher esses 2 é 10-1=9 (os demais elementos do conjunto).

Passo 3

Agora precisamos contar de quantas maneiras podemos escolher 2 elementos dentre esses 9 restantes, sem que a ordem importe (subconjuntos são combinatórios, não sequências). A forma padrão de contar escolhas sem ordem é usar combinações. A combinação de k elementos dentre n é dada por:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) significa n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot 2\cdot 1. Essa fórmula conta todas as maneiras de escolher k elementos dentre n quando a ordem não importa.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: queremos escolher 2 elementos dentre 9. Logo o número de escolhas é
\binom{9}{2}=\frac{9!}{2!(9-2)!}=\frac{9!}{2!\,7!}.
Simplificando a fração pelo fato de 9!=9\cdot8\cdot7!, obtemos
\binom{9}{2}=\frac{9\cdot 8\cdot 7!}{2\cdot 1\cdot 7!}=\frac{9\cdot 8}{2}=\frac{72}{2}=36.
Uma ideia alternativa e mais direta: contar pares distintos de 9 elementos é 9\cdot 8 se a ordem importasse, e dividindo por 2 (porque a ordem não importa) dá 36.

Passo 5

Interpretação final e checagem por exemplo simples: suponha que os elementos sejam \{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j\} e o fixo seja a. Então todo subconjunto de três que contenha a é formado por \{a\} mais qualquer par de elementos entre \{b,c,d,e,f,g,h,i,j\}. O número de pares distintos desse conjunto de 9 é exatamente 36, como calculado. Um exemplo análogo menor: se houvesse 4 elementos e um fixo, escolher subconjunto de 2 com o fixo equivale a escolher 1 entre 3, ou seja 3 maneiras — mesmo raciocínio em menor escala.

Resposta

36

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