De quantas maneiras podemos escolher um subconjunto de 3 elementos de um conjunto com 10 elementos, contendo um elemento fixo previamente escolhido?
Passo 1
O enunciado pede: escolher um subconjunto de 3 elementos de um conjunto com 10 elementos, com a condição adicional de que o subconjunto deve conter um elemento que já foi fixado previamente. Informações dadas:
- O conjunto total tem
elementos. - Um elemento específico já está selecionado e obrigatoriamente deve estar no subconjunto.
- O subconjunto final deve ter exatamente
elementos.
Passo 2
Interpretando a condição: como um elemento já está fixo dentro do subconjunto, resta escolher os outros elementos do subconjunto entre os elementos restantes do conjunto original. Ou seja:
- Já temos
elemento escolhido (o fixo). - Precisamos escolher mais
elementos para completar o subconjunto de . - O número de elementos disponíveis para escolher esses
é (os demais elementos do conjunto).
Passo 3
Agora precisamos contar de quantas maneiras podemos escolher
elementos dentre esses
restantes, sem que a ordem importe (subconjuntos são combinatórios, não sequências). A forma padrão de contar escolhas sem ordem é usar combinações. A combinação de
elementos dentre
é dada por:
onde
(fatorial de
) significa
. Essa fórmula conta todas as maneiras de escolher
elementos dentre
quando a ordem não importa.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: queremos escolher
elementos dentre
. Logo o número de escolhas é
Simplificando a fração pelo fato de
, obtemos
Uma ideia alternativa e mais direta: contar pares distintos de
elementos é
se a ordem importasse, e dividindo por
(porque a ordem não importa) dá
.
Passo 5
Interpretação final e checagem por exemplo simples: suponha que os elementos sejam
e o fixo seja
. Então todo subconjunto de três que contenha
é formado por
mais qualquer par de elementos entre
. O número de pares distintos desse conjunto de
é exatamente
, como calculado. Um exemplo análogo menor: se houvesse
elementos e um fixo, escolher subconjunto de
com o fixo equivale a escolher
entre
, ou seja
maneiras — mesmo raciocínio em menor escala.