A quantia gasta anualmente, em milhões de reais, na manutenção do asfalto em uma cidade é representada pela variável Y com função densidade dada por:
f(y)=89 y-49, 0,5 <= y<2
Verifique que a função f(t) satisfaz a definição de densidade, encontre a função de distribuição acumulada F(t) e obtenha:
Obs.: responda utilizando 3 casas decimais.
d) V(Y)=

Passo 1

Beleza, olha só o que a gente tem: uma variável aleatória contínua f(y)=89,y ;-;49, 0,5<= y<2 que representa o gasto anual (em milhões) com manutenção de asfalto, e a densidade dela é
O que o exercício pede (parte d) é a variância .
Para isso vamos precisar:
  1. Verificar rápido que (pra garantir que é densidade de verdade).
  2. Encontrar a CDF .
  3. Calcular .
  4. Calcular .
  5. Montar .

Passo 2

Verificação de densidade:
integral0.5^2l(tfrac89y-tfrac49r),dy =l[tfrac49y^2-tfrac49yr]0.5^2 =l(8/9-8/9r);-;l(1/9-2/9r) =1
Então tá tudo certo, é densidade válida.

Passo 3

A função de distribuição acumulada para F(t)=integral0.5^tl(tfrac89y-tfrac49r),dy =l[tfrac49y^2-tfrac49yr]0.5^t =4t^2-4t+19 é
Fora desse intervalo vale (para ) e (para ).

Passo 4

Calcular E(Y) =integral0.5^2yl(tfrac89y-tfrac49r),dy =integral0.5^2l(tfrac89y^2-tfrac49yr),dy =l[tfrac827y^3-tfrac29y^2r]0.5^2 =1,500 :

Passo 5

Calcular E(Y^2) =integral0.5^2y^2l(tfrac89y-tfrac49r),dy =integral0.5^2l(tfrac89y^3-tfrac49y^2r),dy =l[tfrac29y^4-tfrac427y^3r]0.5^2 =2,375 :

Passo 6

Finalmente, a variância
Var(Y) =E(Y^2)-l[E(Y)r]^2 =2,375-l(1,500r)^2 =2,375-2,250 =0,125

Resposta

(três casas decimais).

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