Uma quantidade de 300 t de tomates selecionados após a colheita foi disposta em caixas para serem resfriados em uma câmara fria. No início do processo, quando os tomates foram inseridos na câmara, a temperatura média dos frutos era de
, e eles devem ser resfriados até
em um período não superior a 4 h . Calcular:
o calor gerado pela respiração no período de resfriamento, considerando a mudança de temperatura linear;
o calor gerado pela respiração no período de resfriamento, considerando a mudança de temperatura linear;
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica.
- Massa de tomates:
.
Vou converter para unidades usuais de cálculo:, portanto a massa é - Temperatura inicial média dos frutos:
. Vou chamar essa temperatura de - Temperatura final desejada:
. Vou chamar de - Tempo máximo de resfriamento:
. Como a questão diz “no período não superior a ” e pede o calor gerado durante o período de resfriamento considerando mudança de temperatura linear, vou adotar o tempo total de resfriamento como - O que a questão pede: “Calcular o calor gerado pela respiração no período de resfriamento, considerando a mudança de temperatura linear.” Em outras palavras, calcular a energia total liberada por respiração durante as
enquanto a temperatura dos tomates decresce linearmente de para .
Observação importante (não peço dados ao usuário, apenas explico): para obter um valor numérico do calor gerado pela respiração é necessário conhecer a taxa de geração de calor por unidade de massa como função da temperatura, i.e. a função específica de geração por respiração
(por exemplo em
ou
). O enunciado não dá explicitamente
. Vou então fazer a resolução de forma didática e geral (expressão que permite calcular o calor se
for conhecida) e apresentar um modelo simples e útil (linear em
) que é o mais básico e facilmente aplicável numa prova curta. Também mostro como proceder se a relação for outro modelo comum (p.ex. dependência do tipo Q10).
Passo 2
O que é “calor gerado pela respiração” e como escrevê-lo matematicamente.
- A respiração dos frutos libera energia (calor) continuamente. Chamamos de
a taxa específica de geração de calor por unidade de massa quando o fruto está à temperatura . Unidades típicas: ou (onde ). - Se a massa total é
e em cada instante a taxa específica é , a potência total gerada pela respiração naquele instante é . A energia (calor) total gerada durante o intervalo de tempo é a integral temporal dessa potência: Essa é a fórmula fundamental: massa vezes integral da taxa específica ao longo do tempo. - Como a temperatura varia no tempo de forma linear (condição do enunciado), podemos escrever a variação de temperatura como função linear do tempo. Vou explicitar isso no passo seguinte.
Passo 3
Escrever a temperatura como função do tempo (variação linear) e transformar a integral.
- Temperatura linear no tempo entre
(em ) e (em ) significa: Aqui é a taxa de variação de temperatura em . - Substituindo isso na expressão de
temos - Uma mudança de variável útil: como
varia linearmente com , podemos trocar a integração em por integração em . Note que quando temos e quando temos . A relação entre diferenciais é Substituindo na integral: - Interpretação: o calor total é a massa multiplicada pelo tempo total e pela média (no intervalo de temperaturas) da taxa específica
. Em palavras simples: onde é a média de no intervalo de temperaturas .
Passo 4
Escolha de um modelo simples para
(o mais direto para aplicar em prova) e resolução explícita.
- Regra do algoritmo (ensinado no contexto): se não há método imposto, usar o método mais simples que permita chegar a resposta no tempo de prova. Um modelo muito simples, linear, é assumir que a taxa específica de geração de calor varia linearmente com
: em que e são constantes (unidades: se está em , então tem unidades e tem ). - Justificativa prática: linear é o modelo mais simples; permite média direta e é aceitável em provas quando não há dados complicados. Se, em outro contexto, o enunciado apresentar curva experimental ou modelo exponencial (Q10), usaríamos esse outro modelo — eu explico essa alternativa no passo 6.
- Com
, calcule a integral : - Substituindo em
obtemos - Simplificando usando
, fator cancela: Outra forma mais imediata (intuitiva): média de no intervalo é , então . Isso é prático em prova: média aritmética dos extremos quando é linear.
Passo 5
Aplicando os valores numéricos conhecidos do enunciado (aqui substituímos
). Observação sobre os parâmetros ausentes.
- Substituindo
, , , na fórmula geral obtemos a expressão final em termos de e : Simplificando e : - Interpretação prática: para obter o valor numérico de
você precisa saber e (o modelo linear de ). Se o enunciado da sua prova der em forma de tabela, ou der em um ponto e um Q10, ou der diretamente em forma de função, você substitui na fórmula (ou calcula a média conforme explicado) e obtém o resultado. - Se o modelo for ainda mais simples, por exemplo
proporcional a (i.e. ), então e basta conhecer .
Passo 6
Como proceder se o modelo não for linear (ex.: dependência do tipo Q10) — método rápido para prova.
- Um modelo comum para taxa biológica é o modelo Q10: a taxa muda por um fator
a cada . Se a taxa específica a uma referência é , o modelo é - Nesse caso o cálculo do calor total segue a mesma lógica: calcular
Essa integral pode ser resolvida analiticamente (é uma integral de exponencial em ) e dará uma expressão fechada que depende de e . Em prova, se te der e , calcule a integral ou, de forma prática, avalie em vários pontos e use a média numérica simples se o professor aceitar aproximação. - Em resumo: o procedimento está sistematizado — a chave é trocar a integral em
por integral em (porque a variação é linear), calcular a média de no intervalo e multiplicar por .
Passo 7
Resumo didático prático (passo a passo que você pode reproduzir na prova)
- Converta massa para kg:
. - Escreva
. - Escreva
e faça a mudança . - Calcule
(média de no intervalo de temperaturas). - Então
. - Se o professor der
, use e calcule diretamente.