Uma quantidade de 300 t de tomates selecionados após a colheita foi disposta em caixas para serem resfriados em uma câmara fria. No início do processo, quando os tomates foram inseridos na câmara, a temperatura média dos frutos era de 30^{\circ} \mathrm{C}, e eles devem ser resfriados até 4^{\circ} \mathrm{C} em um período não superior a 4 h . Calcular:
o calor gerado pela respiração no período de resfriamento, considerando a mudança de temperatura linear;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica.
  • Massa de tomates: 300\\ \mathrm{t}.
    Vou converter para unidades usuais de cálculo: 1\\ \mathrm{t}=1000\\ \mathrm{kg}, portanto a massa é M = 300\\ \mathrm{t} = 300\,000\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura inicial média dos frutos: \,30^\circ\mathrm{C}. Vou chamar essa temperatura de \,T_i=30^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final desejada: \,4^\circ\mathrm{C}. Vou chamar de \,T_f=4^\circ\mathrm{C}.
  • Tempo máximo de resfriamento: 4\\ \mathrm{h}. Como a questão diz “no período não superior a 4\\ \mathrm{h}” e pede o calor gerado durante o período de resfriamento considerando mudança de temperatura linear, vou adotar o tempo total de resfriamento como t_f = 4\\ \mathrm{h}.
  • O que a questão pede: “Calcular o calor gerado pela respiração no período de resfriamento, considerando a mudança de temperatura linear.” Em outras palavras, calcular a energia total liberada por respiração durante as 4\\ \mathrm{h} enquanto a temperatura dos tomates decresce linearmente de 30^\circ\mathrm{C} para 4^\circ\mathrm{C}.
Observação importante (não peço dados ao usuário, apenas explico): para obter um valor numérico do calor gerado pela respiração é necessário conhecer a taxa de geração de calor por unidade de massa como função da temperatura, i.e. a função específica de geração por respiração r(T) (por exemplo em \mathrm{kJ\;kg^{-1}\;h^{-1}} ou \mathrm{W\;kg^{-1}}). O enunciado não dá explicitamente r(T). Vou então fazer a resolução de forma didática e geral (expressão que permite calcular o calor se r(T) for conhecida) e apresentar um modelo simples e útil (linear em T) que é o mais básico e facilmente aplicável numa prova curta. Também mostro como proceder se a relação for outro modelo comum (p.ex. dependência do tipo Q10).

Passo 2

O que é “calor gerado pela respiração” e como escrevê-lo matematicamente.
  • A respiração dos frutos libera energia (calor) continuamente. Chamamos de r(T) a taxa específica de geração de calor por unidade de massa quando o fruto está à temperatura T. Unidades típicas: \mathrm{kJ\;kg^{-1}\;h^{-1}} ou \mathrm{W\;kg^{-1}} (onde 1\\ \mathrm{W}=1\\ \mathrm{J\;s^{-1}}).
  • Se a massa total é M e em cada instante a taxa específica é r(T(t)), a potência total gerada pela respiração naquele instante é M\cdot r(T(t)). A energia (calor) total gerada durante o intervalo de tempo 0\le t\le t_f é a integral temporal dessa potência: Q_{\mathrm{resp}} = \int_{0}^{t_f} M\,r\big(T(t)\big)\,dt.Essa é a fórmula fundamental: massa vezes integral da taxa específica ao longo do tempo.
  • Como a temperatura varia no tempo de forma linear (condição do enunciado), podemos escrever a variação de temperatura como função linear do tempo. Vou explicitar isso no passo seguinte.

Passo 3

Escrever a temperatura como função do tempo (variação linear) e transformar a integral.
  • Temperatura linear no tempo entre T_i (em t=0) e T_f (em t=t_f) significa: T(t)=T_i + \frac{T_f-T_i}{t_f}\,t.Aqui \frac{T_f-T_i}{t_f} é a taxa de variação de temperatura em \,^\circ\mathrm{C}/\mathrm{h}.
  • Substituindo isso na expressão de Q_{\mathrm{resp}} temos Q_{\mathrm{resp}} = M\int_{0}^{t_f} r\!\Big(T_i + \frac{T_f-T_i}{t_f}\,t\Big)\,dt.
  • Uma mudança de variável útil: como T varia linearmente com t, podemos trocar a integração em t por integração em T. Note que quando t=0 temos T=T_i e quando t=t_f temos T=T_f. A relação entre diferenciais é dT = \frac{T_f-T_i}{t_f}\,dt \quad\Rightarrow\quad dt = \frac{t_f}{T_f-T_i}\,dT.Substituindo na integral: Q_{\mathrm{resp}} = M \int_{T_i}^{T_f} r(T)\,\frac{t_f}{T_f-T_i}\,dT = M\,\frac{t_f}{T_f-T_i}\int_{T_i}^{T_f} r(T)\,dT.
  • Interpretação: o calor total é a massa multiplicada pelo tempo total e pela média (no intervalo de temperaturas) da taxa específica r(T). Em palavras simples: Q_{\mathrm{resp}} = M\,t_f\;\overline{r},onde \overline{r}=\frac{1}{T_f-T_i}\int_{T_i}^{T_f} r(T)\,dTé a média de r(T) no intervalo de temperaturas [T_i,T_f].

Passo 4

Escolha de um modelo simples para r(T) (o mais direto para aplicar em prova) e resolução explícita.
  • Regra do algoritmo (ensinado no contexto): se não há método imposto, usar o método mais simples que permita chegar a resposta no tempo de prova. Um modelo muito simples, linear, é assumir que a taxa específica de geração de calor varia linearmente com T: r(T) = a\,T + b,em que a e b são constantes (unidades: se r está em \mathrm{kJ\;kg^{-1}\;h^{-1}}, então a tem unidades \mathrm{kJ\;kg^{-1}\;h^{-1}\;^\circ C^{-1}} e b tem \mathrm{kJ\;kg^{-1}\;h^{-1}}).
  • Justificativa prática: linear é o modelo mais simples; permite média direta e é aceitável em provas quando não há dados complicados. Se, em outro contexto, o enunciado apresentar curva experimental ou modelo exponencial (Q10), usaríamos esse outro modelo — eu explico essa alternativa no passo 6.
  • Com r(T)=aT+b, calcule a integral \int_{T_i}^{T_f} r(T)\,dT: \int_{T_i}^{T_f} (aT+b)\,dT = \left[\tfrac{a}{2}T^2 + bT\right]_{T_i}^{T_f} = \frac{a}{2}\big(T_f^2-T_i^2\big) + b\big(T_f-T_i\big).
  • Substituindo em Q_{\mathrm{resp}} = M\,\frac{t_f}{T_f-T_i}\int_{T_i}^{T_f} r(T)\,dT,obtemos Q_{\mathrm{resp}} = M\,\frac{t_f}{T_f-T_i}\left(\frac{a}{2}\big(T_f^2-T_i^2\big) + b\big(T_f-T_i\big)\right).
  • Simplificando usando T_f^2-T_i^2=(T_f-T_i)(T_f+T_i), fator (T_f-T_i) cancela: Q_{\mathrm{resp}} = M\,t_f\left(\frac{a}{2}(T_f+T_i) + b\right).Outra forma mais imediata (intuitiva): média de r(T) no intervalo é \overline{r}=a\frac{T_i+T_f}{2}+b, então Q_{\mathrm{resp}}=M t_f \overline{r}. Isso é prático em prova: média aritmética dos extremos quando r é linear.

Passo 5

Aplicando os valores numéricos conhecidos do enunciado (aqui substituímos M,t_f,T_i,T_f). Observação sobre os parâmetros ausentes.
  • Substituindo M=300\,000\\ \mathrm{kg}, t_f=4\\ \mathrm{h}, T_i=30^\circ\mathrm{C}, T_f=4^\circ\mathrm{C} na fórmula geral obtemos a expressão final em termos de a e b: Q_{\mathrm{resp}} = 300\,000\cdot 4\left(\frac{a}{2}\big(30+4\big) + b\right).Simplificando 30+4=34 e 300\,000\cdot 4 = 1\,200\,000: Q_{\mathrm{resp}} = 1\,200\,000\left(\frac{34}{2}a + b\right) = 1\,200\,000\left(17a + b\right).
  • Interpretação prática: para obter o valor numérico de Q_{\mathrm{resp}} você precisa saber a e b (o modelo linear de r(T)). Se o enunciado da sua prova der r em forma de tabela, ou der r em um ponto e um Q10, ou der r diretamente em forma de função, você substitui na fórmula (ou calcula a média conforme explicado) e obtém o resultado.
  • Se o modelo for ainda mais simples, por exemplo r(T) proporcional a T (i.e. b=0), então Q_{\mathrm{resp}} = 1\,200\,000 \cdot 17 a = 20\,400\,000\,a,e basta conhecer a.

Passo 6

Como proceder se o modelo não for linear (ex.: dependência do tipo Q10) — método rápido para prova.
  • Um modelo comum para taxa biológica é o modelo Q10: a taxa muda por um fator Q_{10} a cada 10^\circ\mathrm{C}. Se a taxa específica a uma referência T_0 é r_0, o modelo é r(T) = r_0 \cdot Q_{10}^{(T-T_0)/10}.
  • Nesse caso o cálculo do calor total segue a mesma lógica: calcular Q_{\mathrm{resp}} = M\,\frac{t_f}{T_f-T_i}\int_{T_i}^{T_f} r_0\,Q_{10}^{(T-T_0)/10}\,dT.Essa integral pode ser resolvida analiticamente (é uma integral de exponencial em T) e dará uma expressão fechada que depende de r_0 e Q_{10}. Em prova, se te der r_0 e Q_{10}, calcule a integral ou, de forma prática, avalie r(T) em vários pontos e use a média numérica simples se o professor aceitar aproximação.
  • Em resumo: o procedimento está sistematizado — a chave é trocar a integral em t por integral em T (porque a variação é linear), calcular a média de r(T) no intervalo e multiplicar por M t_f.

Passo 7

Resumo didático prático (passo a passo que você pode reproduzir na prova)
  1. Converta massa para kg: M=300\,000\\ \mathrm{kg}.
  2. Escreva T(t)=T_i + \dfrac{T_f-T_i}{t_f}t.
  3. Escreva Q_{\mathrm{resp}}=M\int_0^{t_f} r(T(t))\,dt e faça a mudança dt=\dfrac{t_f}{T_f-T_i}dT.
  4. Calcule \overline{r}=\dfrac{1}{T_f-T_i}\int_{T_i}^{T_f} r(T)\,dT (média de r no intervalo de temperaturas).
  5. Então Q_{\mathrm{resp}}=M t_f \overline{r}.
  6. Se o professor der r(T)=aT+b, use \overline{r}=a\frac{T_i+T_f}{2}+b e calcule diretamente.

Resposta

Q_{\mathrm{resp}} = 1\,200\,000\left(17a + b\right)

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